Per i nuovi giochi matematici,

abbiamo tutte le vacanze natalizie a disposizione. C’è tempo per riposare, tempo per svagarsi, e anche per giocare, pensando un po’… 

Eccoli, davvero facili, sono buona. E se no, che Natale è?

(I quesiti sono tratti da un sito di cui per ora non posso, per ovvi motivi, segnalare il link)

Quesito 1numerico

Un treno parte dal capolinea con 114 persone a bordo. Ad ogni fermata scendono 13 passeggeri e ne salgono 6. Dopo quante fermate il numero dei passeggeri a bordo è il più vicino possibile alla metà di quello iniziale?

Quesito 2 geometrico

Considerate un triangolo come quello qui sotto.
Riuscite a formare, usando piastrelle di questa forma e accostandole lato contro lato, senza sovrapposizioni e senza lasciare buchi, un triangolo della stessa forma di questo (cioè con gli stessi angoli) che sia 4 volte più grande di questo? Quanti triangoli avete dovuto usare?

Voglio aiutarvi con una considerazione. Sì, potrebbe sembrare una richiesta ulteriore, è invece un aiuto.

Saranno maggiormente apprezzate le soluzioni motivate con riflessioni di tipo geometrico che spieghino in maniera un po’ più specifica il 4 volte più grande. Per la classe terza si tratterebbe di individuare il particolare tipo di trasformazione geometrica. Ma anche i ragazzi della prima sono in grado di usare il linguaggio specifico! Potrei anche aggiungere (per tutti, perché anche in prima abbiamo incontrato una situazione analoga, seppure lavorando con le operazioni aritmetiche…): il numero di triangoli da utilizzare per “piastrellare” potrebbe essere calcolato anche senza ricorrere al concreto accostamento delle figure? Perché?  

Quesito 3passatempo … natalizio?

Due fratellini stanno colorando un’intera cassetta di cubi.
Hanno vernici di sei colori e stabiliscono di usare un colore diverso su
ciascuna faccia dei cubi.
Decidono che un cubo è colorato “bene” quando ha:
• La faccia rossa opposta alla gialla;
• La faccia blu opposta alla arancione;
• La faccia verde opposta alla celeste.

a) Fra gli sviluppi 1, 2, 3, 4, 5 che vedete nelle figure sotto, quanti e quali cubi sono colorati bene (secondo i fratellini)?
b) Potete dire se fra gli sviluppi 1, 2, 3, 4, 5 ce ne sono due che una volta ripiegati in un cubo sono fra loro uguali?

Bene, queste le proposte.         
                                                                                   [… da QaQ]

A tutti, buone soluzioni!

Dicevo sopra, abbiamo tutte le vacanze: la scadenza … facciamo che la Befana porti a me e al prof Davide le soluzioni da correggere e il post da preparare. Eh, si sa che la vecchina è buona solo con i piccoli  

Quindi avete tempo fino al 7 gennaio 2016!

Ps: a brevissimo un nuovo post per gli auguri di Buone Feste!

E sì, va bene i quesiti

ma Natale è Natale!

E allora, gli inviluppi i ragazzi della prima li avevano appena conosciuti nel disegno tecnico, è stato un gioco realizzarli con geogebra e, segnalata loro questa pagina,

hanno voluto regalare ai lettori del nostro blog i loro

auguri di Buone Feste

Ed ecco i loro lavori

Cliccando sull'immagine del lavoro di Aurora si possono vedere stellina e palline lampeggianti!

E… anche Antonella e GianFranco della terza, i soli ad aver realizzato le omotetie con Geogebra, hanno avuto l’idea natalizia!

A me non resta che augurare Buon Natale e Buone Feste a voi, ragazzi, le vostre famiglie, ai nostri amici della Lombardia, la nostra cara Maestra Renata e tutti i nostri lettori!

E ancora: andate a vedere ilavori di Natale dei piccolini di Maestra Renata!

PS: scordavo, Roberta e…, quel programmino per creare simmetrie e/o fiocchi di neve potete scaricarloQui. Poi scrivete se avete problemi.

Ed ecco le soluzioni

dei giochi per le vacanze di Natale. Sono trascorse ben tre settimane, non vi ho trovati in piena forma nelle risposte. Non tutti almeno. Molti di voi, in più di un quesito, hanno dovuto ri-tentare! Sarà proprio perché sono trascorse ben tre settimane? Troppe!? E il clima natalizio non si confà ai giochi matematici? Ma pure a tanto altro… non si confà, eh eh.

Quesito 1treni, fermate e…

Per la classe prima risolvono: Roberta, Maria, Valentina, Andrea, Paola, Elisa, Yuri, Aurora, Marta C., Antonio, Marta D., Sara, Luca, Margherita. Martina, che può aver lavorato con Sara, ma non si è ben capito, non ha comunque corretto il risultato errato.

Per la terza: Antonella, Alessia, Miriam, Gian Franco, Elisa, Giuseppe P.

Le risposte sono tutte abbastanza simili, in sintesi:

ho calcolato inizialmente la metà di 114 quindi 57. Ho diviso questo numero per la differenza dei passeggeri in uscita dal treno e quelli in entrata ad ogni fermata, quindi per 7. Il numero più vicino alla metà di 114 che sia divisibile per 7 è il 56. Quindi 56:7=8. Dopo 8 fermate il numero dei passeggeri rimasti è il più vicino possibile alla metà di quello iniziale.

In alternativa, è stato trovato il numero che moltiplicato per 7 si avvicina di più a 57.

Qualche solutore della prima, forse volendo dedicare più tempo , dopo aver diviso per 2 il 114, ha eseguito delle sottrazioni successive da 114: 114-13+6=107; 107-13+6=100; etc … fino ad arrivare a 58. Lo ha fatto per 8 volte, infatti: da tutto ciò deduco che dopo 8 fermate il numero di passeggeri rimasti è il più vicino possibile alla metà dei passeggeri iniziali.

[Oh, abbiamo già avuto occasione, giusto in questi giorni, di verificare che la divisione può considerarsi una sottrazione ripetuta di sottraendi uguali. Ho invitato a richiamare alla mente certe risposte ai quesiti e, sì, ho visto qualcuno annuire … ]

Quesito 2 il triangolo 4 volte più grande

Ebbene, il 4 volte più grande ha dato il suo bel daffare! Sono state date due differenti risposte.

Alcuni solutori, indistintamente, e della prima e della terza, hanno interpretato come 4 volte più grandel’area del triangolo.

Altri invece hanno interpretato, correttamente, come 4 volte più grandi i lati del triangolo.

Evidentemente solo in pochi hanno letto con attenzione la mia considerazione sul quesito. Tuttavia ho deciso di prendere per buone entrambe le interpretazioni poiché la sola formulazione del problema, richiedendo il triangolo 4 volte più grande, poteva pure dare luogo all’equivoco.

Ma pongo a tutti la domanda: se la richiesta fosse stata la costruzione di un triangolo 3 volte più grande, sareste riusciti a triplicare l’area utilizzando come “piastrella” il triangolo dato (ma anche uno diverso)? 

Eh, non posso negare di aver provato una certa delusione da parte dei (pochi) solutori della classe terza: solo di recente si era parlato di similitudini e omotetie! Il n° di volte più grande era stato considerato nei suoi diversi aspetti: lati, perimetri, aree… E sia, come si diceva sopra, la concentrazione durante le vacanze era carente.

Veniamo alle soluzioni e i solutori.

Per la prima: Roberta, Paola, Elisa, Andrea, Aurora, Luca, Marta C. Yuri, Sara e Martina (che inviano separatamente la stessa risposta, affermano anche di aver fatto tutto su geogebra, ma non presentano alcuna costruzione. Neppure su invito a …), Antonio invia la risposta senza alcuna spiegazione. E non va bene!

 Roberta, Paola e Aurora hanno moltiplicato per 4 le misure dei lati del triangolo.

Roberta dice:

Sì, è possibile costruire un triangolo 4 volte più grande di quello dato. Io ho utilizzato in tutto 16 triangoli.
Per ottenere questo risultato innanzitutto ho riflettuto attentamente  sul consiglio datoci dalla prof. e mi è tornato in in mente un esercizio che avevamo trovato sul libro [Si tratta di un esercizio sulla variazione del prodotto al variare dei fattori in una moltiplicazione, della quale sul testo avevamo commentato l’interpretazione geometrica]

Con un ragionamento alquanto complicato, Roberta pasticcia in un primo momento con la costruzione su Geogebra, tracciando in maniera imprecisa l’altezza del triangolo di partenza [ma si può ben scusare, il triangolo è ottusangolo e ancora in prima non abbiamo parlato di altezze. In compenso, sollecitata via e mail a scoprire, ha imparato a costruire le altezze!]

Scrive successivamente:

Se quadruplichiamo la base [e anche gli altri lati], quadruplica anche l’altezza del triangolo. Quindi la formula per calcolare l’area sarà: 4*b*4*h/2. Semplifico la formula utilizzando la proprietà commutativa: 4*4*b*h/2.
Quindi la formula finale è: 16*b*h/2
Una volta eseguito questo ragionamento ho costruito la figura per accertarmi del risultato.

Paola scrive:

il n° di triangoli che ho dovuto usare per formare un triangolo 4 volte più grande del triangolo principale sono 16. Su geogebra ho prima costruito un triangolo con un lato da 4, uno da 3 e uno da 6, poi ho costruito un triangolo con un lato da 16, uno da 12 e uno da 24 (cioè 4 volte più grande). Dopo ho posizionato il triangolo minore in un punto del triangolo maggiore e ne ho copiato e incollato degli altri. Da lì ho capito che erano 16.

Aurora:

ho riprodotto il triangolo poi ho moltiplicato le sue misure *4. Per vedere quanti triangoli mi servono per piastrellare ho ruotato [manualmente?] i triangoli più piccoli in modo che combaciassero. Quando ho finito ho contato i triangoli e sono 16

Elisa e Andrea propongono le due soluzioni.

La prima dice: usando 3 triangoli uguali ho trovato un triangolo 4 volte piu grande, ho usato 3 triangoli, il quarto triangolo (cioe quello al centro) lo ricavo accostando i 3 triangoli

Poi aggiunge: dopo aver letto di nuovo la domanda ho pensato di moltiplicare per quattro i lati e ho scoperto che al suo interno ci sono sedici triangoli.

Andrea dice di aver pensato ad entrambe le soluzioni e invia le due costruzioni:

[non è proprio il triangolo dato, mava bene…]

Luca, Marta C. e Yuri quadruplicano l’area, Sara e Martina e Antonio i lati ma non spiegano...

Comunque: e bravi i primini!

Per la terza, i solutori: Alessia, Antonella, Gian Franco, Miriam, Giuseppe P.

Sarà forse più pigra la terza? Chissà… pure tenuto conto del numero inferiore di alunni. Ah!

Alessia, Gian Franco e Antonella quadruplicano in un primo momento l’area e, solo dopo osservazione della prof., aggiustano il tiro e pensano all’omotetia di rapporto 4.

Gian Franco invia la costruzione con l’omotetia e, sullo sfondo, la visualizzazione dei 16 triangoli ottenuti con una serie di traslazioni e rotazioni (ma la costruzione è piuttosto contorta).

Miriam e Giuseppe risolvono quadruplicando l’area.

Giuseppe scrive:

Secondo me la regola alla quale si fa riferimento è quella della similitudine.

Il rapporto tra le aree del primo e del secondo triangolo è di 1/4 (rapporto similitudine tra le aree ) e quindi il rapporto di similitudine dei lati è 1/2 , secondo la regola che afferma che il rapporto fra le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine . Abbiamo affiancato a quello dato altri 3 triangoli uguali come si può vedere nell'immagine sotto

Giuseppe, e tutti: ripensate all’osservazione di cui sopra….

Quesito 3 i cubi colorati“bene” quando:
• La faccia rossa opposta alla gialla;
• La faccia blu opposta alla arancione;
• La faccia verde opposta alla celeste.

Risolvono per la prima: Roberta, Maria, Valentina, Andrea, Paola, Elisa, Yuri, Aurora, Marta C., Antonio, Marta D., Sara e Martina Luca, Margherita.

Per la terza: Antonella, Alessia, Miriam, Gian Franco, Elisa, Giuseppe P.

Qualche solutore della prima risponde correttamente alla prima domanda ma non alla seconda. Anche qualcuno dei solutori terzini, inciampa nella seconda domanda!

Le soluzioni sono simili, in sintesi:

i cubi colorati bene secondo i fratellini sono l'1 e il 5 perché hanno rispettivamente la faccia blu opposta all'arancione e così via…

Ripiegando i 5 cubi [i 5 sviluppi!] quelli uguali sono il primo e il quinto dato che erano stati colorati bene (secondo i fratellini)

Io penso che nessuno abbia ripiegato sviluppi. Male!

Anche stavolta mi pare ci sia tutto. Osservazioni eventuali, ma soprattutto, approfondimenti e discussioni in classe. Uhm, ehm!

Non mi resta che confidare in migliori performances per i prossimi giochi che troveremo dal prof. Davide.

E, in ogni caso, bravo a chi ha lavorato!

Il prof Davide

ha postato! - Ormai dite così voi primini

Sono i nuovi giochi del

Sarà mica matematica 38

Divertenti e interessanti come al solito. E tanta bellezza!

Vi mostro solo un’immagine, che è un collage di foto di mosaici di una famosa basilica della città di Ravenna (voi trovate gli intrusi! )

Che dite? Meravigliosa geometria!!

Mi pare sufficiente per tuffarsi a curiosare: Cliiic!

Buone soluzioni e

grazie prof Davide!

Ed ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica n° 38

Che dire? Qualcuno batte la fiacca, qualcuno trova difficoltà, qualcuno comunque ci prova, qualcuno trova le soluzioni ma non le spiega… insomma di tutto un po’. Anche il numero di solutori è un po’!

Quesito 1, le date di nascita

Per la classe prima risolvono: Yuri, Andrea, Marta C. (per tentativi trova due date ma non la terza), Elena (che non spiega), Paola, Roberta (per tentativi), Aurora (come Marta C.), Antonio, Sara (che non spiega), Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P.

Le risposte più complete ed esaurienti sono simili a quella di Giuseppe P., che copio-incollo:

Secondo me Paolone è nato nel 1958, ho proceduto svolgendo la seguente operazione: 116:2=58. Ho considerato il 1900, ho dovuto calcolare la differenza tra 2016 e 1900= 116. Poi dividerla per due perchè l'età deve corrispondere alle ultime 2 cifre dell'anno di nascita.

Paolino ha 8 anni, ho tratto questa conclusione prendendo in considerazione gli anni 2000, 2016-2000= 16:2=8. Paolino è nato nel 2008.

Seguendo lo stesso ragionamento, la persona denominata Io [e sì, “Io” è stato da alcuni identificato con il prof Davide, altri hanno avuto qualche dubbio, chissà perché… Mah, io non voglio dirlo! Che abbiano fatto paragoni??Qualcuno, non volendosi sbilanciare, ha scritto anche “età di io: ha 47 anni ed è nato nel 1969” ] avrà la stessa coincidenza nel 2038, quando avrà 69 anni, essendo nato nel 1969.  2038- 1900= 138;  138: 2= 69. 

Quesito 2, i marmi dei mosaici

Per la classe prima i solutori: Andrea, Yuri, Paola, Roberta, Aurora (che somma le aree utilizzando la costruzione su Geogebra), Davide (realizza la costruzione corretta su Geogebra ma fa dei ragionamenti complicatissimi e non riporta il risultato finale corretto), Antonio, Marta C., Roberta, Sara, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Alessia, Giuseppe P., Elisa, Miriam.

Cominciamo con una delle costruzioni realizzate con Geogebra, questa è di Roberta:

Dato il perimetro del quadrato complessivo, di 16 cm, si chiedeva l'area della superfice in marmo bianco.

Roberta, come altri, spiega così:

 L’area del marmo bianco è di 12 cm².

Faccio innanzitutto 16/4=4 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato grande.
Poi: 4/2=2 cm e ottengo la misura di un lato del quadrato medio.
Quindi: 2*2=4 cm² e ottengo l'area di un quadrato medio bianco.
Moltiplico per 2 perché i quadrati medi sono due: 4cm²*2=8 cm² e ottengo l'area dei quadrati medi bianchi.
A questo punto ho osservato attentamente la figura e con le parti rosse, dei triangoli, ho formato due figure identiche corrispondenti al quadrato piccolo bianco:

Questo significa che un quadrato piccolo bianco corrisponde alla metà di un quadrato medio.
Quindi ho fatto 4cm²/2=2 cm² e ottengo l'area di un quadrato bianco piccolo, ma i quadrati piccoli sono 2 quindi 2cm²*2=4 cm² [E tanto valeva…!]
Infine ho fatto 8 cm²+4 cm²=12 cm²

Di Paola mi è piaciuta la spiegazione del perché i quadrati piccoli sono equivalenti alla metà dei medi:

Perché se ruoto di 180 gradi un triangolo di marmo rosso combacia perfettamente con 1/4 di un quadrato minore di marmo bianco. [li ha ruotati tutti e quattro e colorato in bianco i triangoli corrispondenti nelle rotazioni]

I punti con etichetta sono i centri di rotazione.

Altri:

dividono il quadrato medio in 8 triangoli rettangoli uguali e ne “prendono” la metà, ovvero 4, che quindi equivalgono alla metà del quadrato medio.

Altri ancora:

considero il lato di un triangolino=1 cm; area di un triangolino: 0.5 cmq; 0,5*4=2 cmq=area di 4 triangolini= area di uno dei quadrati piccoli.

Infine, la domanda aggiuntiva per secondini e terzini: quali le dimensioni minime della lastra bianca iniziale intera da cui sono stati ricavati i pezzi bianchi?

La risposta è stata data solamente da Alessia e dai cuginetti Lella (che sarebbe Antonella) e Gianfri (che sarebbe Gian Franco)

Alessia invia la costruzione:

Lascia intuire a me che ha trovato il lato dei quadrati piccoli pari a √2 cm.

I cuginetti dicono:

Se il lato dei triangolini rossi che sono rettangoli isosceli, è di 1 cm, secondo il teorema di Pitagora il lato del quadrato piccolo è uguale a √2 cm quindi:

la lastra bianca iniziale è formata dai 4 quadrati bianchi di dimensioni 2 cm e √2 cm che uniti formano un rettangolo (aggiungendo il pezzo tratteggiato) delle seguenti dimensioni:

E bravi Alessia e cuginetti! – Visto che sono stati gli unici.

Quesito 3le spirali nei mosaici

Il prof Davide ha ricostruito un particolare su Geogebra

E la domanda: Se il lato del quadrato misura 10 cm, qual è la lunghezza complessiva delle linee nere della spirale?

Per la classe prima risolvono: Paola, Roberta, Yuri, Aurora (spiega ma non riporta la lunghezza totale della spirale), Antonio, Elena, Sara, Andrea, Luca.

Per la terza: Antonella e Gian Franco, Arianna, Alessia, Giuseppe P., Miriam.

Diverse le risposte del tipo:

La lunghezza complessiva delle 2 linee nere della spirale è di 60 cm. Ogni linea nera è composta da 2 parti che misurano 7.5 cm ciascuna e altre 3 parti da 5 cm. La lunghezza di una delle linee nere della spirale è di 30 cm: (7.5x2) + (3x5)= 30 cm. 30x2= 60 cm.

Qualcuno scrive:

la spirale comprende:
i 3/4 di ogni lato cioè 3/4 di 10 cm=7.5 cm, che si ripetono sui 4 lati, quindi: 7.5×4 =30 cm;
attraversa l’interno del quadrato con 1/2 del lato per 6 volte, cioè 5×6=30 cm.
La lunghezza complessiva della spirale è perciò di 60 cm.

Più originale la soluzione di Antonio (non precisissime le costruzioni):

trasforma la spirale iniziale

in questa:

Trasporto le due linee che passano al centro del quadrato, tagliate a metà, sui lati del quadrato per averli interi, quindi ho 4 lati da 10 cm: 10x4 = 40 cm. Rimangono 4 linee all’interno da 5 cm ciascuna: 5x4 = 20 cm. La lunghezza totale è: 40 cm + 20 cm = 60 cm.

Ho concluso, se scordo qualcuno mi si faccia notare.

Grazie come sempre al profDavide,

Bravo a chi ha lavorato e anche a chi ci ha provato.

Oh, i nuovi quesiti spettano a me!

Qualcosa è già pronto, pubblicherò appena completo. A prestissimo!

Eccoli, pronti i nuovi quesiti!

Partiamo da una robina facilissima, il

Quesito 1

Osservate la figura

Vedete sei circonferenze dello stesso raggio disposte all’interno di un rettangolo grande, tangenti fra loro e tangenti ai lati del rettangolo. [Voi della prima, si capisce tangenti? Non abbiamo ancora avuto occasione mi pare… Tangente viene dal latino tangere che vuol dire toccare. In questo caso, lo vedete, le circonferenze si toccano fra loro e con i lati del rettangolo. Per ora basta questo]. Torniamo alla figura:

i vertici del rettangolo piccolo sono situati ciascuno nel centro di una circonferenza. Il perimetro del rettangolo piccolo misura 60 cm. Quanti centimetri misura il perimetro di quello grande?

Quesito 2, numerico

Quale delle seguenti proposizioni è falsa per la somma S di quattro interi positivi dispari consecutivi qualsiasi?

1. Sè pari
2. S può essere multiplo di 16
3. S non è mai un quadrato perfetto
4. S può essere un cubo perfetto
5. Sè sempre maggiore o uguale a 16

Cos’è un quadrato perfetto lo sapete, un cubo perfetto… lo intuite!  Ma sì, sapete cos’è il cubo di un numero: il prodotto di tre numeri interi uguali, cioè un numero elevato alla terza potenza. es: 8, 27, 64, …

Per ogni affermazione potete fare degli esempi, ma cercate anche di generalizzare. Suggerisco: magari ricordate che un numero dispari qualsiasi si può scrivere nella forma 2n ±1 (più o meno 1). Stavolta vi conviene indicare il primo numero dispari solo con n. Il consecutivo sarà …?

Quesito 3, ancora geometria

Figura:

I due quadrati ABCD e EFGH sono uguali.
La parte colorata ha area 1 u². Qual è l’area del quadrato ABCD?

Non allarmatevi, aiutino: osservate bene, una parte dell’area colorata è contenuta nel quadrato. Ragionate sulla parte che sta fuori!

Buoni ragionamenti a tutti!

La scadenza: martedì 23 febbraio 2016

Ecco anche le nostre soluzioni del

Due a settimana..._15

Quesito 1

Per la classe prima risolvono correttamente: Andrea, Yuri, Maria, Paola, Marta C., Roberta, Aurora, Valentina, Elisa, Antonio.

Questa la costruzione di Roberta, è stata la sola a costruire!

Per cui riporto anche la sua spiegazione :

Il perimetro del quadrato grande misura 100 cm.
Per risolvere il quesito innanzitutto ho costruito la figura. In seguito ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG in parti uguali, segnando i punti d'intersezione tra le circonferenze e il centro di ognuna di esse. Ho ottenuto 12 parti.
Quindi ho diviso il perimetro del rettangolo EFHG, 60cm, per12: 60/12=5 cm, il raggio di ogni cerchio.
Per trovare la base di ABCD ho fatto: 5cm*6parti=30cm.
Per trovare l'altezza sempre di ABCD, 5cm*4parti=20cm.
Infine ho calcolato il perimetro utilizzando la formula: (b+h)*2 cioè (30+20)*2=100cm.

E comunque:

Andrea, seppure non troppo chiaro nella spiegazione del calcolo delle misure dei lati dei rettangoli, osserva:

il perimetro del rettangolo piccolo è i 3/5 del perimetro del rettangolo grande perché per formare il perimetro di quello piccolo ci vogliono 6 diametri mentre per quello grande ce ne vogliono 10.

E questa è una buona osservazione. Che però non sfrutta adeguatamente. Un pochino è scusato, le frazioni non le abbiamo ancora trattate per poterle sfruttare bene. Altrimenti, poiché era conosciuto il perimetro del rettangolo piccolo, avrebbe considerato, con la sua osservazione, che quello del rettangolo grande è i 5/3 di quello piccolo! E perciò sarebbe stato sufficiente calcolare i 5/3 di 60: 5/3*60=100 (o 60/3*5)

Altri spiegano, in sintesi, in questo modo:

Capisco che il perimetro passa per i diametri e raggi delle circonferenze per un tot. di 6 diametri nel rettangolo piccolo, e quindi basta fare una divisione (60/6) per capire che il diametro è 10 cm. Siccome l’altro perimetro è tangente ai cerchi avrò 10 diametri da 10 cm ciascuno. Basta fare: 10 cm*10=100 cm.

Per la terza: Alessia, Gian Franco, Antonella, Miriam, Giuseppe P., Elisa.

Riporto per tutti la risposta di Alessia:

Per trovare la misura delle dimensioni del rettangolo ho trovato la misura del diametro dei cerchi.

L'altezza del rettangolo piccolo corrisponde a un diametro e il semiperimetro a tre diametri, quindi calcolo 1/3 di P/2(60cm/2=30cm)/3= 10 cm

Quindi, per trovare le dimensioni del rettangolo grande moltiplico il diametro (10cm) per il numero di cerchi che compone la dimensione.
Quindi:
b=10cm*3=30cm
h=10cm*2=20cm
P=(b+h)*2=(30cm+20cm)*2=100 cm

Quesito 2

Per la classe prima, i solutori: Andrea:

per trovare la risposta ho controllato ogni frase. La prima è vera perché la somma di numeri dispari fatta un numero pari di volte da sempre un numero pari;
la seconda è vera perché ho sommato 17+19+21+23=80 che sarebbe un multiplo di 16;
la terza è falsa perché per esempio la somma dei primi 4 numeri dispari è 16 cioè il quadrato di 4;
la quarta è vera perché la somma di 13+15+17+19 è 64 che è il cubo di 4;
la quinta è vera perché la somma dei primi 4 è 16.

Yuri:

La preposizione falsa è: S non è mai un quadrato perfetto

Sono arrivato alla risposta facendomi uno schemino:

-S é pari perchè posso fare 1+3+5+7=16. Quindi è vera.
-S é multiplo di 16 perché posso fare 5+7+9+11=32. Quindi é vera.
-S non è mai un quadrato perfetto é falsa perchè già se faccio 1+3+5+7=16 che é un quadrato di un n°.
-S può essere un cubo perfetto perché se faccio 13+15+17+19=64 ed é un cubo perfetto.
-S è un numero maggiore o uguale a 16 è vera perchè io faccio1+3+5+7=16 oppure 9+11+13+15=48 ed é sempre e comunque maggiore di 16.

Il tutto mi ha dimostrato la risposta.

Paola:

La risposta falsa è la n° 3, perché se n è un n° dispari, che può essere 1, la formula è n+(n+2)+(n+2*2)+(n+2*3)=1+3+5+7= 16. Da questo risultato ho trovato le risposte 1 e 5. Se n è 13 faccio 13+15+17+19= 64 e ho trovato la risposta 4. Se n è 5 faccio 5+7+9+11=32 e ho trovato la risposta 2. L' ultima risposta che rimaneva era la n° 3, ma per essere sicura ho controllato tutti i risultati e più di uno era quadrato perfetto.

Roberta:

L'unica proposizione falsa è la n°3: S non è mai un quadrato perfetto.

1. S è pari     V   F
2. S può essere multiplo di 16    V   F
3. S non è mai un quadrato perfetto   V   F
4. S può essere un cubo perfetto    V   F
5. S è sempre maggiore o uguale a 16    V   F

Per trovare questo risultato ho analizzato tutte le proposizioni.

Per la n°1 ho innanzitutto fatto due esempi: 1+3+5+7=16 e 3+5+7+9=24, da qui ho trovato la formula generale, seguendo il consiglio della professoressa (indicate un numero dispari qualsiasi semplicemente con n) -> n+(n+2)+(n+4)+(n+6) = S.
La formula sviluppata è: n*4+12 = S. Qualsiasi numero moltiplicato per 4 da come risultato un numero pari, che viene addizionato ad un altro numero pari, pari + pari = pari. Quindi si otterrà sempre un numero pari e perciò la n°1 è vera.

Per la n°2 ho fatto 16*2 = 32 e poi sono andata avanti con gli es. a partire dal secondo risultato trovato nella prima proposizione: 5+7+9+11 = 32 (corrisponde), 7+9+11+13 = 40, 9+11+13+15 = 48 = 16*3 (corrisponde), qui ho usato la stessa formula utilizzata nella prima proposizione, e anche la n°2 è vera.

Per la n°3 ho inizialmente fatto degli esempi: 16 = 4^2 (corrisponde), 24 = 5^2 (non corrisponde), 32 = 6^2 (non corrisponde). Secondo gli esempi solo uno corrisponde, ma nel testo viene utilizzata la parola "mai" quindi la n°3 è falsa.

Per la n°4 ho fatto degli esempi utilizzando la formula: a^3 = S -> 2^3 = 8 (non corrisponde), 3^3 = 27 (non corrisponde), 4^3 = 64 = 13+15+17+19 (corrisponde), quindi la n°4 è vera.

Per la n°5, l'ultima, ho segnato vero perchè nel primo es. ho iniziato dal primo numero dispari sommando agli altri tre consecutivi e ho ottenuto 16, questo significa che 16 è il numero minimo di S e che gli altri andranno per forza crescendo.

Luca (una delle proposizioni è spiegata in maniera incomprensibile, ma diamogli buone le altre), Marta, che si limita alla risposta secca alla domanda. Spiega infatti, seppure correttamente, solo la proposizione n° 3: La proposizione falsa è la terza, perchè ho preso in considerazione quattro numeri dispari consecutivi cioè: 1-3-5-7, la somma di questi è 16 e 16 è un quadrato perfetto.

 Antonio, che fa una faticaccia …!:

La proposizione falsa è la numero 3 perchè:
1)è vera perchè per esempio 1+3+5+7=16 ed è pari;
2)è vera perchè 1+3+5+7=16 che è un multiplo di 16 perchè 16 x 1=16
3)è falsa perchè 1+3+5+7=16=4 alla 2
4)è vera perchè 13+15+17+19=64 =16 alla 3
5)è vera perchè 1+3+5+7=16

Per la terza: Alessia:

Per trovare la somma di quattro numeri interi, positivi, dispari e consecutivi qualsiasi ho cercato una formula, mettendo n come numero dispari:

n+n+2+n+4+n+6=4n+12

Guardando la formula si intende subito, qualunque sia n, il risultato sarà sempre pari perché: un numero dispari moltiplicato per un numero pari il risultato sarà sempre pari e anche perché addizionando due numeri pari si ottiene sempre un risultato pari. Da questo si capisce che la prima affermazione è vera.

Ipotizzando che n sia uguale a 1, applicando la formula, si ottiene come risultato 16, o che n sia uguale a 5 si ottiene come risultato 32, quindi anche la seconda e la quinta affermazione sono vere.

La terza affermazione è assolutamente falsa perché la somma può essere un quadrato perfetto, e, infatti come abbiamo visto, ipotizzando che n sia uguale a 1, la somma è uguale a 16, e 16 è il quadrato perfetto di 4.

Per verificare che la quarta affermazione fosse vera ho cercato un numero che rispettando la formula fosse anche un cubo perfetto e ho trovato il cubo di 4 che è 64.

Antonella:

La proposizione errata è la numero 3 [perché?].

La prima, la seconda, e la quinta sono vere perché 4n + 12 è un “pari + pari”. Questa formula l’ho ottenuta da: n+(n+2)+(n+4)+(n+6).

 S può essere anche multiplo di 16 perche basandomi su degli esempi: 1+3+5+7 =16, ma anche con un altro esempio, 5+7+9+11=32, un multiplo di 16. La 4 è esatta [ma non spieghi perché], anche la 5 perché utilizzando come esempio 1+3+5+7 sono i numeri naturali interi dispari e consecutivi piu piccoli e la loro somma è 16, non può essere dunque un numero minore di questo.

Miriam:

La proposizione falsa è la 3. Spiego il perché:

1) è vero, perché la somma di un “numero pari di numeri dispari” (in questo caso 4), da sempre un numero pari.

Esempio: 1 + 3 + 5 + 7 = 16

n + (n+2) + (n+4) + (n+6) = 4n+12

2) è vero perché, ad esempio:

1 + 3 + 5 + 7 = 16  

5 + 7 + 9 + 11 = 32 = 16 x 2  

9 + 11 + 13 + 15 = 48 = 16 x 3

13 + 15 +17 + 19 = 64 = 16 x 4

...qui ho notato una "regolarità"... [qual è?]

3) è falso, ecco un esempio di quadrato perfetto: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 x 4

4) è vero, un esempio è:  125 + 127 + 129 + 131 = 512 = 8^3

5) ovviamente è vero, gli stessi esempi riportati qui sopra lo dimostrano.

Gian Franco:

Innanzitutto, considerando un numero dispari qualsiasi come "n" ho pensato di rappresentare la somma di 4 numeri dispari consecutivi come "n+n+2+n+4+n+6" o meglio con la formula 4n+12. Con questa formula ho potuto ragionare su alcune proposizioni come la prima in cui ho affermato che la somma è pari perché un numero dispari per uno pari dà sempre pari (4*n) , che sommato a sua volta ad un altro pari(12) dà pari. Oppure la seconda in cui ho dedotto che è vera perché provando a sostituire la n con numeri ad esempio con il primo numero dispari cioè l'1 si fa 1*4+12= 16. Provando con i numeri dispari successivi ho notato che S è multiplo di 16 una volta si una no.

La terza invece è falsa perché S può essere un quadrato perfetto già nella prima somma di numeri dispari consecutivi cioè 1+3+5+7=16. Quindi anche la quarta affermazione è corretta [come quindi, perché?] e lo stesso vale per la quinta che può essere spiegata anche dalla seconda, infatti se la prima somma di quattro numeri consecutivi dispari da 16, le altre possono essere solamente maggiori.

Giuseppe P.:

La proposizione errata è solo la numero3 in quanto:
- la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16 che è un quadrato perfetto
- la proposizione n°5 è vera perché la somma di 1-3-5-7 è uguale a 16
- la proposizione n°1 è vera in quanto si tratta di una somma di 4 numeri dispari
- la proposizione n° 2 è vera perchè la somma di 5-7-9-11 è uguale a 32 multiplo di 16
-la proposizione n°4 è vera perché la somma 13-15-17-19 è uguale a 64 che è il cubo di 4

Quesito 3

Per la classe prima:Roberta:

Costruzione:

L' area del quadrato ABCD è 1 u².
Per trovare questo risultato innanzitutto ho costruito due figure su GeoGebra, una come quella proposta dalla prof. e una dove poter lavorare. A questo punto ho osservato attentamente la figura iniziale e, nella seconda fig. ho nascosto il quadrato E1F1G1H1, lasciando in vista solamente i punti che mi erano utili. Quindi ho costruito dei triangoli con le parti di area fuori dal quadrato e, grazie agli strumenti di GeoGebra, ho traslato questi triangoli e ho ricomposto il quadrato ABCD.
Questo significa che l' area della parte colorata corrisponde all'area del quadrato.

Yuri:

L' area del quadrato ABCD è uguale a quella della porzione blu cioè 1 u^2.

Sono arrivato alla soluzione anche grazie al suo aiutino, e ho capito che i triangoli che rimanevano all'esterno fossero equivalenti a due dei triangoli che posso vedere dentro al quadrato. Allora ho provato a spostare il triangolo DCH nel triangolo ABE. Ma anche il triangolo BFC nel triangolo AED.

Tutto ciò mi ha dimostrato che avevo ragione. [e tanto basta! ]

Paola:

L'area è 1 u^2 perché se prendo in considerazione solo il quadrato ABCD, l'area fuori dal quadrato è precisamente la metà dell'area del quadrato, quindi l'area blu è uguale all'area del quadrato.

Lo dimostro così:

Ho riprodotto la costruzione con geogebra e ho fatto dei poligoni triangolari sovrapposti all'area blu che sta fuori dal quadrato ABCD e li ho copiati e incollati nell'area bianca del quadrato. Coincide perchè le misure sono uguali. [mmh… dobbiamo parlarne]

Aurora:

L'area del quadrato coincide con l'area della parte colorata. Infatti il triangolo AEB è uguale al triangolo DHC (perché sono equivalenti) [perché sono equivalenti?] e il triangolo ADE è uguale al triangolo BCF (perché equivalenti) [perché?], quindi l’area del quadrato ABCD è uguale 1u^2

Andrea(più che sbrigativo):

per trovare l'area ho messo due triangoli dell'area colorata nell'area bianca come nella figura infatti è simile a un puzzle, adesso le mando la ricostruzione. L'area bianca di un quadrato è 0,5.

[boh! Spero tanto che Andrea non si piaccia, leggendosi qui!]

Luca: noo, spiega in un italiano inintelligibile! E non spiega le equivalenze che riconosce nella figura.

Antonio (lavora sulla figura del testo).

La risposta è 1 u^2 perchè:

ho tracciato il segmento AE, poi ho prolungato il segmento HE fino al lato AB, stesso procedimento per il segmento FE fino al lato AD. Così mi sono reso conto che i triangoli che ho formato sono uguali a quelli che stanno fuori dal quadrato. [mah! Sì, c’è proprio da parlarne…]

Per la terza: Alessia:

I quadrati ABCD e EFGH hanno area 1 u^2, perché (prendendo come esempio il quadrato ABCD), immaginando di traslare il triangolo BCF verso il lato AD e il triangolo HDC verso il lato AB si ottiene la stessa area della parte colorata iniziale.

Dopo sollecitazione mi aggiunge che i triangoli che immagina di traslare sono equivalenti perché hanno stessa base e stessa altezza. Ah, se non si sollecita!

Antonella: spiega con la traslazione di triangoli

Gian Franco:

osservando attentamente la figura e con l’aiuto, ho notato che fuori dal quadrato ci sono due triangoli. Essi potrebbero essere inseriti nel quadrato ABCD perché:

considerando ad esempio il triangolo CBF si può notare che è equivalente al triangolo ADE. Questo perchè innanzitutto hanno la stessa base, infatti è il lato del quadrato.

Per quanto riguarda l'altezza: prendiamo in considerazione il lato EF, è suddiviso dal punto d'intersezione con il lato BC. La distanza punto intersezione-F è la stessa punto E-lato AD perché il lato EF è parallelo e uguale al lato DC.

Lo stesso vale per il triangolo DCH, equivalente a ABE, perché hanno la stessa base e la stessa altezza. Quindi concludo dicendo che l'area della parte colorata cioè 1u^2 è uguale a quella del quadrato ABCD.

Miriam: stesso ragionamento di Antonio, spiega con le traslazioni. Ma la costruzione è sua

Giuseppe P.:

l'area del quadrato ABCD è uguale all'area della parte colorata perché l'area compresa tra ADE è uguale all'area del triangolo BCF, e l'area compresa tra ABE è uguale all'area del triangolo CDH [perché? ]

Oh, mi pare di aver detto tutto!

Bravo a chi ha lavorato (qualcuno ha lavorato, lo possiamo dire, con non troppo impegno e poi, soprattutto: c’è da lavorare sui perché, intesi?), e bravo anche a chi ha tentato e non è riuscito.

A prestissimo dal prof Davide per i nuovi giochi!

Ehi, tutti,

sono pronti i nuovi quesiti dal prof Davide

Colori, animazioni, due bei quesiti allegri.

Sì, due, due, il prof è stato generoso anche in questo.

Beh, che faccio, vi anticipo l’animazione? Ok, la anticipo!

Potete cliccare anche sull’immagine per sapere tutto!

Buone soluzioni a tutti,

Grazie al prof Davide.

Ecco le nostre soluzioni del

Sarà mica matematica 39

Quesito 1

Riporto lo schema del quesito:

  E’ richiesto il valore dei tre simboli

Per la classe prima, solutori e soluzioni:

Yuri, bella soluzione!:

Il quadrato misura 34, il triangolo23 ed infine il cerchio 12.

Osservando le somme si può notare  che:

la somma tra cerchio e triangolo è 35 ed ha 11 unità in meno della somma tra quadrato e cerchio che invece è 46.
Quindi significa che il quadrato ha 11 unità in più del triangolo, visto che il cerchio è figura comune alle due somme, quindi è per forza il quadrato a fare la differenza.
Altre 11 unità differenziano le due somme quadrato + cerchio = 46  e triangolo + quadrato = 57. Ciò vuol dire anche qui che il triangolo ha 11 unità in più del cerchio perché essendo il quadrato figura comune, è necessariamente il triangolo a fare la differenza e quindi ad avere 11 unità in più del cerchio.

Premesso questo procedo così:

Dalla somma 35 unità [cerchio + triangolo] sottraggo la differenza tra le due figure [11] e ottengo 24; dopodiché divido per 2 e ottengo 12. Aggiungo a una parte da 12 le 11 unità che mi portano alla misura del triangolo, 23; le 12 dodici unità rimanenti sono quelle del cerchio.

Il resto è facile da capire: il quadrato che ha 11 in più del triangolo sarà 34.

Valentina, buona l’intuizione, non riesce tuttavia a spiegare il suo ragionamento:

Le soluzioni sono: cerchio= 12, triangolo= 23, quadrato= 34

quindi:

12+23= 35
34+12= 46
23+34= 57

Ho ragionato notando che tra i risultati delle addizioni c'era una differenza di 11 e tra il primo e il terzo una differenza di 22. Ho pensato quindi che anche gli addendi avessero bisogno di avere una differenza di 11 o di un suo multiplo (22) [perché?]
Quindi ho cercato di mettere come addendi quelli che hanno una differenza di 11 o di un suo multiplo, come 22. [quindi per tentativi?]

Elena, anche Elena intuisce ma si perde nella spiegazione…

Ecco i valori: cerchio= 12, triangolo= 23, quadrato= 34

Li ho trovati osservando: tra 35 e 46 c'è 11 di differenza e anche tra 46 e 57 la differenza è 11. Nelle prime 2 operazioni c'è il cerchio in comune quindi la differenza tra il triangolo e il quadrato è di 11. Perciò se io scopro il valore del triangolo aggiungendo 11 trovo il quadrato oppure se scopro il valore del quadrato e tolgo 11 ho il triangolo.
[Come scopre non lo spiega, quindi per tentativi? Suppongo di sì!]. Poi noto anche che tra le ultime 2 operazioni in comune c'è il quadrato quindi è scontato che il cerchio e il triangolo abbiano 11 di differenza. [Già!]

Maria, soluzione prettamente numerica

Quadrato: 34
Cerchio: 12
Triangolo: 23
Procedimento:
ho"guardato in faccia" le figure e i numeri e ho notato che nelle operazioni dove c'era il triangolo (la n°1 e la n°3) il risultato era dispari, nell'unica operazione dove non c'era il triangolo il risultato era pari ed era composta dal cerchio e dal quadrato, quindi ho supposto che il triangolo rappresentava un numero dispari e il cerchio un numero pari.
Ho scomposto il 35 nei vari numeri che addizionati possono dare 35: ho scomposto il cinque e ho trovato questa situazione:
?2
?3
a questo punto dovevo trovare le decine e l’ovvia soluzione era  20+10. A questo punto ho capito che il cerchio era 12, numero pari, e il triangolo era 23 e infatti 23+12=35
Dopo di che ho sottratto da 46 (il risultato della seconda addizione) il 12, 46-12=34; quindi 34 era il quadrato.
Infine 34+23=57: a questo punto ero sicura di aver scoperto il valore delle figure geometriche.

Marta C. (afferma di essere stata aiutata dalla mamma. Sì, sono molto sinceri!)

Sommo le tre somme cioè 35+46+57=138, 138 è uguale a 2 quadrati+2 triangoli+2 cerchi.
Se io divido 138 per 2 ottengo 1 quadrato+1 triangolo+1 cerchio=69.
Dato che 57 (quadrato+triangolo)+cerchio=69, cerchio=69-57=12, quindi proseguo così: triangolo=35-12, quadrato=57-23=34.

Paola e Andrea (anche loro dicono di essere stati aiutati dai genitori)

Nelle somme si nota che c'è la differenza di 11, quindi anche tra i simboli c'è differenza di 11 [questo si dovrebbe chiarire meglio]. La somma 57 è data da: 11 + triangolo + triangolo = 11 + triangolo*2 [ancora, occorrerebbe spiegare]. Quindi il triangolo è 57 - 11/2 = 23. Se trovo un simbolo trovo di conseguenza tutti gli altri: cerchio = 35 – 23 oppure 23 - 11 = 12; quadrato = 46 – 12 oppure 22 + 12 oppure 57 – 23 oppure 11 + 23 = 34.

Roberta, stavolta si perde nel chiarire il suo pensiero, trova per tentativi i risultati che rispettino le somme, poi…

schema con risultati:

Spiegazione:

ho notato che tra una somma e l'altra ci sono 11 unità di differenza, quindi ho fatto: 35-11=24 e dato che ci sono 2 addendi uguali (il cerchio) → 24/2=12 (cerchio). [Non è chiaro però, perché 35 –11? I due addendi uguali sarebbero inoltre nella somma 35+46] A questo punto: 35-12=23 (triangolo) e 46-12=34 (quadrato). Infine 23+34=57  conferma i risultati ottenuti.

Antonio, buona soluzione, riporta lo schema

ho provato a ragionare così:
A (cerchio), B (quadrato), C(triangolo):

ho immaginato che le figure siano segmenti: ho unito il segmento A + C=35 al il segmento B + A = 46, ottengo 81. Nella somma 81, mi ritrovo due segmenti A,  un segmento B e un segmento C. Siccome mi serve trovare il segmento A devo sottrarre il segmento B + C=57; 81-57=24, che sarebbero 2 segmenti A, siccome me ne serve uno eseguo 24:2=12. 
C (triangolo) ho sottratto 35-12=23. 
B (quadrato) ho sottratto 46-12=34.

Bene, Antonio, anche se i segmenti si indicano con la lettera minuscola!

Elisa,trova per tentativi i valori dei tre simboli e fa una considerazione:

ci sono andata per tentativi, una volta trovati i numeri 12, 23, 34 mi sono accorta che se sommo:
12 con 11 mi da 23
23 con 11 mi da 34
se poi prendo i risultati delle somme delle figure geometriche, mi accorgo che si distanziano anche loro di 11.

Luca,gioca con i numeri, io la dichiaro soluzione non bella!

Prendo in considerazione il primo dato, la somma delle due figure cerchio + triangolo = 35 che è formata da 3 e 5 [dalle cifre 3 e 5] .
il 3 lo scompongo 1+2 e così faccio anche per il 5, lo scompongo 2+3. I due addendi saranno, il primo 12 e il secondo 23 quindi il cerchio misurerà 12 mentre il triangolo misurerà 23. 
Per le altre figure stavolta dalle somme sottraggo la misura che già conosco e ottengo la misura mancante quindi ricapitolando :
La misura del triangolo è 23, quella del cerchio 12 e quella del quadrato 34.

Per la classe terza, solutori e soluzioni. Direi positivo, i (soliti pochi) solutori intuiscono la soluzione di equazioni e sistemi [stiamo, in questi giorni,per formalizzare il tutto…]

Alessia, illustra e spiega:

138 è perciò la somma di due triangoli, due quadrati e due cerchi.

Ora da 138 tolgo il doppio della somma del quadrato e del cerchio :
138-(46*2)= 138-92 = 46.
Il risultato, ovvero 46, è la somma di due triangoli, quindi per trovare un triangolo divido per 2, ottenendo così 23.
Per trovare il cerchio sottraggo 23, il triangolo, da 35 e il risultato è 12.
Per trovare il quadrato posso sottrarre da 57 il triangolo, ovvero 23, e il risultato è 34. Oppure sottrarre da 46 il cerchio, ovvero 12 e ottengo sempre 34.

Gian Franco

Prima di tutto osservando bene le figure e le loro somme ho pensato di addizionare tutte le somme numeriche quindi 35+46+57= 138. 138 quindi è la somma di due triangoli, due quadrati e due cerchi, così ho pensato di dividerli per due ottenendo un triangolo, un quadrato e un cerchio (138/2=69). A questo punto da 69 ho sottratto ogni somma che già conoscevo [cosa costa chiarire con gli esempi?
69-46 (quadrato +cerchio)=23, il triangolo, ecc] ottenendo una differenza uguale alla figura mancante nelle somme e trovando quindi il valore di ogni figura, ovvero: triangolo=23, quadrato=34, cerchio=12.

Giuseppe P. Giu’ risolve elaborando i dati-somma, beh per lui troppo facile! Ma bravo, ha lavorato in completa autonomia!

secondo me, il numero rappresentato con il triangolo è il 23; quello indicato con il cerchio è il numero 12 e quello raffigurato con il quadrato è il 34 perchè questi tre valori confermano i dati: la somma del quadrato più il cerchio è 46, quella del triangolo più il quadrato è 57, e infine la somma del cerchio più il triangolo è 35.

Ho notato anche che la differenza tra il cerchio e il triangolo è di 11, come pure quella tra il triangolo e il quadrato e anche la differenza tra le loro somme è di 11.

Miriam

Per risolvere il quesito ho lavorato in questo modo:

Ho addizionato 35, 46 e 57, ottenendo 138 e quindi due cerchi, due triangoli e due quadrati.
Poi ho diviso la somma per due ottenendo 69 e quindi un solo cerchio, un solo triangolo e un solo quadrato.
Poi, per scoprire il valore del quadrato, ho sottratto da 69, la somma del cerchio e triangolo, che è 35, ottenendo 34.
Ho fatto lo stesso per le altre due incognite: per scoprire il valore del triangolo ho fatto 69 - 46 (quadrato + cerchio), ottenendo 23, per quanto riguarda il cerchio ho fatto 69 - 57 (triangolo + quadrato), ottenendo 12.
Ricapitolando:
quadrato= 34
triangolo= 23
cerchio= 12
Poi per verificare, ho eseguito le somme cerchio-triangolo, quadrato-cerchio, triangolo-quadrato, attribuendo alle figure il loro valore.
Quindi:
12 + 23 = 35
34 + 12 = 46
23 + 34 = 57

Antonella:

Inizialmente ho sommato le tre somme ovvero 35+46+57=138 e ho diviso questo numero per due perche ogni figura si ripeteva due volte. 138:2=69.
Infine essendo le somme date, le misure di due figure, ne mancava una terza che scoprivo sottraendo dalla somma delle tre figure quella delle due figure. Ho fatto quindi: 69-35=34: è la misura del quadrato, poi 69-46=23: è la misura del triangolo e 69-57=12, la misura del cerchio.

Quesito 2

Per la classe prima

Valentina:

per poter risolvere il quesito mi sono servita di geogebra per orientarmi meglio

Nell'immagine riportata qua sopra c'è la formula per trovare la metà della freccia.
Osservandola bene ho capito che devo dividere la figura arancione in due parti in modo da ottenere due triangoli ottusangoli. 
Per trovare l'area del triangolo è necessaria la base e l'altezza. EF, la base, misura 1 cm perché corrisponde a metà del lato del quadrato che misura 2 cm, l’altezza del triangolo misura 1 cm perché corrisponde a EC che è la metà del lato BC. 
A= b*h/2= 1cm*1cm/2= 0.5 cm². Il tutto lo moltiplicheremo per 2, dato che manca l'altra metà della figura e quindi sarà 0.5*2 = 1 cm² ossia ¼ del quadrato.

Yuri:

La risposta del quesito 2 è 1 cm²

Sono arrivato alla soluzione calcolando l'area del triangolo ADE e sottraendo da essa l'area del triangolo ADF procedendo in questa maniera:

sapendo che il quadrato ABCD ha il lato di 2cm, vedendo che la porzione arancione è contenuta all'interno del triangolo ADE, dove E è il punto medio del lato BC, da qui vedo che l'altezza del triangolo misura cm 2, come il lato del quadrato. L'area del triangolo ADE sarà di 2 cm² ( base 2cm x altezza 2cm /2) quindi (2x2/2). Per trovare l'area della freccia arancione, dobbiamo togliere dal triangolo ADE l'area del triangolo ADF che calcoleremo sapendo che F è il punto di intersezione tra le diagonali del quadrato e quindi misurerà la metà del lato del quadrato. Perciò l'altezza del triangolo ADF misurerà 1cm, da qui si può calcolare la sua area avendo la misura della base che sappiamo è di 2cm. Quindi base 2cm  x  altezza 1cm / 2 otteniamo 1 cm²= area di ADF.

Ora dall'area di ADE tolgo l' area di ADF e ottengo l' area della porzione arancione ossia 2-1=1 cm²

Yuri risolve anche per via diretta, cioè calcolando l’area della freccia per somma di aree di triangoli ottusangoli, come Valentina.

Sara: Come Yuri, prima soluzione, ma omette la spiegazione sulle dimensioni dei triangoli.

Elena:

Calcolo l'area del quadrato sapendo che ogni lato misura 2cm quindi l•l=2•2=4 cm²; calcolo l'area del triangolo DAF: b•h:2=2•1:2=1 cm²; poi calcolo l'area del triangolo AEB b•h:2=2•1:2=1 cm². Questo triangolo è uguale al triangolo EDC. Quindi dall'area del quadrato (4 cm²) tolgo l'area dei tre triangoli (3 cm² totali). Il risultato è 1 quindi la freccia ha area 1 cm².

Antonio: soluzione per somma di aree triangoli ottusangoli.

Luca:soluzione-Elena

Andrea:prima soluzione-Yuri, così come Paola.

Roberta: due soluzioni come Yuri: per somma aree triangoli ottusangoli e per differenza aree triangoli ADE e ADF.

Marta C.:soluzione-Elena, così come Michele

Elisa: si è fatta aiutare, ma non può aver capito quella spiegazione!

InfineAurora. Non dovrei accettare la soluzione perché alla richiesta di spiegazioni non risponde, tuttavia… santa pazienza! Ritaglio immagine dal suo lavoro su geogebra:

No, proprio non ci vuole spiegare la sua intuizione-deduzione! Che non sia proprio semplicissima?

[Aggiornamento]

Non abbiamo mica lasciato perdere! La soluzione di Aurora, non spiegata, ci incuriosiva e, in classe, tutti insieme, l’abbiamo ripresa in mano.

In verità Aurora ci ha mostrato come era arrivata alla sua conclusione: il “suo” punto E era libero, non lo ha individuato con Punto medio di segmento, ma creato al centro del segmento CD utilizzando la griglia. Essendo dunque un punto mobile, lei lo trascinava fino a farlo coincidere con il vertice D del quadrato. La freccia arancio dunque andava a formare il suo bel triangolo fucsia!

Non convincendoci troppo la dimostrazione, siamo andati alla ricerca di un’altra concentrandoci sull’equiscomponibilità. Come scomporre la freccia e ricomporla in maniera da ottenere il triangolo fucsia? Diversi i tentativi, infine la soluzione arriva da Roberta. Che si impegna a scriverla chiaramente per l’integrazione del post. Mi invia costruzione e spiegazione che vado a copincollare!

Per dimostrare che la freccia corrisponde ad 1\4 del quadrato ABCD innanzitutto ho costruito la figura proposta. Per 1\4 del quadrato io ho preso in considerazione il triangolo ECD.
Ho diviso la freccia in due triangoli ottusangoli con un segmento, EF, poi ho tracciato un altro segmento congruente a BC passante per E formando così quattro triangoli congruenti a due a due: AJE = EHD, JFE = EFH. [Il simbolo di congruenza è ≅]
Ho preso in considerazione 1\2 di freccia, EFD. EHD rimane dove si trova, mentre ruoto EFH di 180° in senso antiorario [centro di rotazione il punto H], ho riempito così 1\8 di ABCD: EGD. Dovrei aver finito qui perchè se fino ad ora ho utilizzato solo metà freccia e ho trovato 1\8 di ABCD = 1\2 di 1\4 di ABCD, è ovvio che l'altro 1\2 di ECD corrisponde all'altra metà della freccia, ma per essere sicura ho preferito dimostrare. Ho ruotato di 180° in senso antiorario AJE [centro di rotazione il punto E] e ho traslato JFE con vettore EG.

Brava Robi, bravi tutti!

Anche Andrea e Paola hanno inviato le costruzioni.

Andrea:

- ho ritoccato i colori per evidenziare i movimenti -

Paola

- Paola evidenzia le trasformazioni geometriche con archi e vettore ma ho ritoccato anche i suoi colori -

Per la classe terza

Alessia: due soluzioni: per somma aree triangoli ottusangoli e per differenza area quadrato-aree triangoli ADF, ECD e EBA.

Beh, per il secondo metodo lavora tanto su geogebra anche per scrivere formule, riconosciamoglielo!

Spiega così:

Per trovare l'area della parte colorata devo togliere, dall'area del quadrato, la somma delle aree del triangolo DAF e dei due triangoli rettangoli equivalenti (DCE e EBA).
L'area del triangolo DAF corrisponde a 1/4 dell'area del quadrato  [(l²/2)/2=l²/4] [ci sarebbe un’altra spiegazione ….!]. L'area dei due triangoli rettangoli è uguale all'area di un rettangolo che ha la base il doppio dell'altezza, perciò si calcola: l*l/2=l²/2
Adesso posso dire che l'area della parte bianca equivale ai 3/4 dell'area del quadrato, perchè(provo a lasciare il La Tex, spero sia ancora leggibile sul blog, per tutti i lettori):
$\frac{l^2}{4}+\frac{l^2}{2}=\frac{l^2+2l^2}{4}=\frac{3}{4}l^2$
quindi l'area della parte arancione è uguale a 1/4 dell'area del quadrato.

Per ciò che concerne il perimetro – freccia, scrive in formule:

Faccio notare che (spontaneamente ) ha pure “raccolto a fattore comune”. Ma sì, ho sollecitato ma lo hanno saputo fare …!

E spiega:

Il perimetro è composto dai lati DE, EA, DF e FA.
I lati DF e FA sono uguali e sommati formano la diagonale del quadrato, che si calcola con il prodotto del lato per la radice quadrata di 2.
Noto anche che i lati DE e EA sono uguali e sono anche le ipotenuse dei due triangoli rettangoli DCE e EBA e si calcolano calcolando il doppio della radice quadrata della somma dei quadrati dei cateti.

Elisa: soluzione per somma aree triangoli ottusangoli ma non calcola il perimetro-freccia. Proprio come Miriam.

Gian Franco:

Ho pensato di dividere la freccia arancione a metà per ottenere due triangoli ottusangoli. La base e l'altezza misurano la metà del lato del quadrato, l'altezza perché è parallela e uguale a metà lato, e la base perché segnata dal punto d'incontro delle diagonali, quindi anche con quello degli assi e infatti anche essa è lunga metà lato. Dopo di che ho trovato l'area del triangolo cioè 1*1/2=0,5 cm^2 che ho raddoppiato perché era la metà della freccia completa, ottenendo un'area complessiva di 1 cm^2.

Trova anche il perimetro della freccia (come Alessia) ma non scrive le formule con i simboli “copiabili” per cui non riporto. Conclude comunque:

… ecco il raccoglimento a fattor comune del perimetro, quindi la proprietà distributiva "al contrario": 2*(rad5+rad2)

Antonella:

Trova l’area per somma aree triangoli ottusangoli e il perimetro:

Per il perimetro invece ho usato il teorema di Pitagora per calcolare il segmento AE (radice quadrata di AB^2+EB^2=radice di (2^2+1^2) = radice di (4+1)=radice di 5); ho moltiplicato il risultato per 2: 2(radice di 5). Per trovare invece i segmenti DF-FA: l x radice di 2 (perche DF è metá diagonale ed essendo uguale al segmento AF, insieme formano la diagonale del quadrato=2 x (radice di 2)). Ma come ci ha chiesto lei in classe, il perimetro della freccia si può raccogliere a fattor comune = 2(rad.2+rad. 5)

Come sempre, mi pare di aver detto tutto!

Bravo, ancora come sempre, a chi ha lavorato, e bravo a chi ha tentato ma non è riuscito.

Grazie al prof Davide che anche stavolta ci ha dato buoni spunti di riflessione e utilissimi per sviluppare nuovi concetti.

A presto qui (sono un po’ indecisa sulla data… concorderò con il prof Davide) per i nuovi quesiti!

Ebbene, ripreso il lavoro scolastico,

è tempo di tornare anche ai nostri giochi.

Anche stavolta i quesiti sono solo due.

Quesito 1, numerico

2016, 41, 17, 50, …

Carlina scrive “2016” su una lavagna.
Questo è il primo numero di una serie.
Ogni numero della serie è la somma del quadrato delle cifre che compongono il numero precedente (in scrittura decimale).
Il secondo numero sarà “41”, dato che 2² + 0²+ 1² + 6² = 41.
Il terzo numero sarà “17”, dato che 4² + 1² = 17.
Il quarto sarà “50” poiché 1² + 7² = 50.
Il quinto numero sarà “25”, dato che 5² + 0² = 25.
Quale sarà il 2016° numero?

Ehi, avrete mica intenzione di continuare la serie fino al 2016° numero?!

Una cosa però dovete farla: continuare la serie … per un bel po’. Fino a quando? Fino a che, attenti ai risultati, non noterete… qualcosa! Ecco, di più non dico!

Quesito 2, ancora aree…

La figura sotto rappresenta una stella a cinque punte disegnata su una quadrettatura regolare 6×6. La superficie di ogni quadratino della quadrettatura è di 25 mm² (attenzione, millimetri quadrati).

Esprimi, sempre in millimetri quadrati, la superficie della stella.

Facile ma dovete fare attenzione alle unità di misura!

Dai Campionati internazionali di giochi matematici

Buone soluzioni a tutti!

Ah, la scadenza. Avete tempo fino al, sono buona, 15 aprile 2016

Infine, le soluzioni del

Due a settimana …_16

Infine, quasi! Si tratta delle penultime soluzioni dei giochi per quest’anno scolastico. E’ invece il nostro ultimo Due a settimana…, l’ultima puntata Sarà … mica matematica. E sarà pure il numero 40, complimenti al prof Davide!

Ma andiamo con le soluzioni.

Quesito 1,il 2016° numero

Solutori e soluzioni per la classe prima:

Andrea,essenziale come sempre:

il duemilasedicesimo numero è l'89 perché è l'ottavo, poi il sedicesimo, il ventiquattresimo ecc. quindi devo solo sapere se 2016 è multiplo di 8 e lo è secondo 252.

Roberta, invia tutto il lavoro che la porta alla soluzione:

2016
2^2 + 0^2 + 1^2 + 6^2 = 41
4^2 + 1^2 = 17
1^2 + 7^2 = 50
5^2 + 0^2 = 25
2^2 + 5^2 = 29
2^2 + 9^2 = 85
8^2 + 5^2 = 89
8^2 + 9^2 = 145
1^2 + 4^2 + 5^2 = 42
4^2 + 2^2 =20
2^2 + 0^2 = 4
4^2 = 16
1^2 + 6^2 = 37
3^2 + 7^2 = 58
...

Arrivata a questo punto ho capito che, dal numero 89 in poi, le somme si ripetevano all'infinito, quindi ho verificato scomponendo un altro po' di numeri.

Poi ho fatto -> 2016° numero : 8 (numeri che si ripetono) = 252 n° volte che si ripete la successione di numeri (sempre uguali), quindi la successione si ripete un numero intero di volte.

Ho considerato che dagli otto numeri che si ripetono devo sottrarre 7, i numeri della serie che non si ripetono. Quindi il 2016° numero è 89.

Paola:

Il 2016° numero è l'89 perché si ripete ogni 8 volte, quindi si ripete per i multipli di 8, e il 2016 è un multiplo di 8 perché 2016/8 = 252.

Davide:

Dopo aver trovato che 89, 145 , 42 , 20 , 4, 16, 37 e 58 si ripetono all'infinito, ho riflettuto e ho capito che il 2016° numero è 89 perché è 8° numero della serie e 2016:8=252.

Antonio:

ho iniziato continuando la serie. Mi sono ritrovato 2 volte l'89 e quindi la serie continuerà all'infinito così: 89,145,42,20,4,16,37,58,89... Deduco che il 2016 numero è 89 perchè ogni 8 numeri c'è l'89 quindi l'800esimo numero sarà l'89, il1600esimo numero sarà l'89, il2000esimo numero sarà 89 e il 2016esimo numero sarà 89. – Va beh, ma perché stare a eseguire una divisione? – dice Antonio!

Elena:

Guardando bene la successione ho visto che questa successione assomiglia ai numeri felici [e brava. Li avevamo visti QUI. Il 2016 non lo è, vero Elena?]. Dopo essermene accorta ho continuato:

2^2+5^2=29
2^2+9^2=85
8^2+5^2=89
8^2+9^2=145
1^2+4^2+5^2=42
4^2+2^2=20
2^2+0^2=4
4^2=16
1^2+6^2=37
3^2+7^2=58
5^2+8^2=89

Ho visto che il n° 89 si ripete, il 2016° numero è 89 [Ma Elena proprio non riesce a spiegare il perché ]

Sara:

Ho continuato la successione finché ho notato che l'89 si ripete all'ottavo numero, quindi il 2016esimo numero è 89 perché ho fatto 2016:8=252, ogni 8 numeri c'è l'89.

Yuri: mi consegna la soluzione su foglietto e io NON trascrivo! La sua risposta è comunque esatta e buono il ragionamento.

Marta C.:

Continuando la successione, ho notato che ogni 8 numeri la successione si ripete. Perciò ho fatto 2016/8=252. Quindi il 2016[esimo] numero sarà 89.

Solutori e soluzioni per la classe terza:

Alessia: dopo astrusi ragionamenti, riesce a concludere semplicemente!

Il 2016esimo numero è 89.

Per trovarlo ho diviso 2016 per il numero di serie dove appare per la prima volta l'89, ovvero 8, ottenendo così 252 che significa che l'ottavo numero, ovvero 89, si ripete 252 volte per raggiungere il 2016esimo numero.

GianFranco:oh, ma questi di terza mi diventano complicati, anche Gianfri arzigogolava, poi finalmente:

Riflettendo un po’ ho pensato che siccome il numero che si ripete nella serie è 89, l'ottavo il numero della serie, e si ripete ogni otto numeri, non dovevo sottrarre niente perché non aveva senso [per l’appunto! Ma anche perché giungevate a conclusioni errate] allora ho diviso direttamente il 2016 per 8 trovando 252, cioè il numero di volte che l'89 si ripete per arrivare al 2016esimo che è appunto 89.

Miriam:

per trovare la soluzione, con il solito metodo, mi sono calcolata un po’ di numeri:
primo numero: 2016
secondo numero: 41
terzo numero: 17
quarto numero: 50
quinto numero: 250
sesto numero: 29
settimo numero: 85
....
continuando, ho notato che dall'ottavo numero parte una serie di 8 numeri (in quest'ordine: 89; 145; 42: 20; 4; 16; 37; 58) che si ripetono all'infinito...
perciò, per trovare il 2016esimo numero, ho diviso 2016 per 8, ottenendo il numero di volte che la sequenza si ripete, pari a 252. Da questo ho potuto dedurre che il 2016esimo numero è 89.

Antonella:

Il duemilasedicesimo numero sarà 89. Ho trovato questo risultato continuando la serie fino a trovare il numero 89 una seconda volta, facendo quindi 2016:8 (perche l'89 è nell'ottava posizione nella serie)= 252 ovvero quante volte si ripete l'89.

Elisa:

ho continuato la serie fino ad un certo punto e ho notato che partendo dall'ottavo numero della serie, che è 89, i numeri si ripetono. Mi chiedeva quale fosse il 2016° numero quindi ho fatto 2016:8=252 che è il numero di volte che 89 si ripete, quindi il 2016° numero è 89.

Giuseppe P:

Continuando la serie ho notato che ogni 8 numeri compariva l’89.
2016:8=252
Quindi 2016 è un multiplo di 8 e dunque il 2016° numero sarà 89.

Soluzioni Quesito 2, la stella

Per la prima:

AndreaePaola inviano due soluzioni

Questa la costruzione (di Paola) su geogebra per la prima soluzione

Paola scrive:

L'area della stella è di 350 mm^2. Ho considerato il triangolo ABE e ho calcolato l'area (6*6/2=18) [Paola calcola in unità-quadrettatura], poi ho calcolato l'area del triangolo ABG (6*2/2=6). Quindi l'area di AGBE è: 18-6=12. Poi ho calcolato l'area di JMN e di LKO (che sono equivalenti) =(2*1/2)*2=2. Per trovare AGBOKLEMJN faccio 2+12=14. Ma siccome i quadratini sono di 25 mm^2 faccio 14*25=350mm^2.

Andrea invece:

L'area della stella è 350mm^2 perché:

ABE [modifico io il nome dei vertici dei poligoni…] è uguale a 450mm^2 perché ogni lato del quadrato è 30 mm;
all'area del triangolo tolgo 150mm^2 che è l'area di AGB e aggiungiamo 50mm^2 che è la somma delle aree dei due triangoli JMN e LKO. Quindi: 450mm^2-150mm^2+50mm^2=350mm^2

La seconda loro soluzione, costruzione sempre di Paola, eh, cura di più!

Paola dice:

Ho calcolato prima l'area del quadrato(ABCD): 6*5 mm (lato del quadratino)= 30 mm, lato del quadrato. 30*30 = 900 mm^2.
Poi ho calcolato l'area del triangolo AJN: 4*5 mm = 20, base del triangolo, 1,5*5 mm = 7,5 mm, altezza. 20*7,5/2 = 75 mm^2.
Il triangolo BKO è equivalente quindi area= 75 mm^2 e somma 150 mm^2.
Dopo ho trovato l'area del trapezio CEJM: 2*5 mm = 10 mm, base minore, 3*5 mm = 15 mm, base maggiore, 10 mm l’altezza. (Base minore + base maggiore)*altezza/2 = (15 + 10)*10/2 = 125 mm^2.
Il trapezio DEKL è equivalente, quindi faccio direttamente CEJM*2 = 125*2 = 250mm^2.
L’area del triangolo ABG è: 30 mm * 10 mm/2= 150 mm^2.
Infine per trovare l'area della stella: 900 mm^2 - (150 mm^2 + 250 mm^2 + 150 mm^2) = 900mm^2-550mm^2 = 350 mm^2.

Andrea:

Lato di ogni quadratino: 5mm.

AJN e BKO sono uguali, quindi con la stessa area, io so la base e l'altezza, la base è 20mm e l'altezza di 7,5mm, quindi faccio 20*7,5/2=75mm^2 ma visto che i triangoli sono due la raddoppio e diventa 150mm^2.
CEJM e DEKL sono due trapezi rettangoli con la stessa area, per trovarla devo fare (base maggiore + base minore)* altezza /2 quindi (10+15)* 10/2= 125 che devo moltiplicare *2 visto che i trapezi sono due.
ABG ha un'area di 150mm^2, la trovo facendo: base= 30mm^2* altezza= 10/ 2= 150mm^2, quindi l'area della stella è 350mm^2 visto che 900mm^2 (area del quadrato) – (150mm^2+250mm^2+ 150mm^2)= 350mm^2.

Roberta. La sua costruzione:

Il suo ragionamento:

E a proposito di ragionamenti complessi! Voglio mostrare la prima soluzione di Roberta: risparmiando la descrizione, ecco la sua costruzione, direi abbastanza esplicativa:

Beh, un lavoraccio, come non riconoscerlo. In pratica Robi trova l’equivalenza della stella con 1/3 del quadrato sommato all’area del rettangolo ottenuto alla destra della costruzione.

Antonio:

considerando i quadratini la cui superficie è 25 mm², i lati sono di 5 mm.Ho diviso il quadrato in zone che potevo calcolare facilmente e sono:
A=triangolo scaleno
B=triangolo scaleno
C=quadrato
C1=triangolo rettangolo
D=quadrato
D1=triangolo rettangolo
E=triangolo isoscele.

Yuri, soluzione come quella di Antonio, la sua coloratissima costruzione:

Sara: soluzione Antonio – Yuri, fa qualche errore sulle misure, che poi corregge ma non corregge le aree relative!

Elena: soluzione seconda soluzione Paola-Andrea, con trapezi e triangoli esterni alla stella.

Marta C: e va bene pubblico la sua non chiara, né mai chiarita soluzione!

Eseguo: 25mmq*36quadrati=900mmq, poi: 25mmq*22quadrati=550mmq
Infine 900-550=350mmq=superficie stella.

Come Marta individui i 22 quadrati esterni alla stella si aggiunge ai problemi irrisolti della matematica!

E questo vale anche per Davide:

… trovo l’area di tutti i quadratini bianchi figura bianca per figura bianca. Trovo la somma di tutti i quadratini: 4+2+4+1+2+2+2+2+1+2=22

Alla mia richiesta di chiarimenti:

Provo a spiegarglielo meglio: allora, io riesco a formare i 22 quadratini prendendo i terzi o i quarti di quadratino e formandolo intero (me lo spiega meglio ma io continuo a non capire, sigh! Ed è lui che ci rinuncia, ri-sigh!)

Elisa invia la soluzione, simil Antonio-Yuri, con risultato corretto ma con qualche errore nelle misure…

Per la terza, i solutori:

GianFranco: soluzione 2 Andrea-Paola

Alessia: idem

Antonella: idem

Elisa: idem

Giuseppe P.: idem, ma allega una bella costruzione:

Miriam: sua costruzione:

Bene, mi pare di aver detto tutto!

Come sempre Bravo a chi ha lavorato bene, a chi ha lavorato meno bene, e anche a chi ha provato ma non è riuscito.

Il prossimo, ripeto, ultimo appuntamento per quest’anno, dal Prof Davide.

Ragazzi?

Non so se qualcuno ha già visto. O vi siete presi la pausa-festa? Domani si comincia a lavorare eh?

Il prof Davide ha pubblicato il bellissimo ultimo Sarà mica di quest’anno.

Due bei quesiti: uno di essi vi farà scoprire altre curiosità sui numeri. Noi conosciamo, oltre quelli figurati, triangolari, quadrati, ecc., quelli felici, quelli amici, ne dovremmo conoscere degli altri. Il prof Davide ci presenta in questi giochi, i numeriche si raccontano. Cioè raccontano sé stessi, quindi sono auto……. ? Chi indovina?

Ok, in ogni caso scoprirete di che si tratta.

E a proposito di numeri figurati-poligonali, quelli triangolari sono i protagonisti dell’altro quesito. Vediamo di non fare brutte figure, intesi?? Leggete tutto con attenzione. E il prof vi aiuta con tanto di link. Anche al nostro blog, lo ringraziamo!

Ma via, clic sull’immagine per andare a scoprire tutto

 Buone soluzioni a tutti.

Grazie al prof Davide.

Pronto l’ultimo post-soluzioni dell’anno scolastico.

Sono le soluzioni del

 Sarà mica matematica 40

Solutori ormai un po’ stanchi, forse più del dovuto hanno faticato nelle risposte ai quesiti e più del dovuto ho dovuto io ritoccare l’italiano!

Quesito 1, numeri triangolari e triangoloni

Da una serie di immagini in sequenza tipo questa:

si chiedeva l'area totale del triangolone con 40 triangolini alla base e quanti triangolini bianchi esso contiene.

Solutori e soluzioni per la classe prima:

Roberta, per la prima, miglior risposta!

L'area totale del triangolone è di 1600 cmq e contiene 780 triangolini bianchi. Per trovare questo risultato mi sono servita della formula per trovare i numeri triangolari: n * (n + 1) / 2
Se n è il numero di triangolini arancioni della base, devo trovare il 40° numero triangolare: 40 * (40 + 1) / 2 = 820
Poi ho riflettuto che nella prima fila di triangolini bianchi, partendo dal basso, ci sono 39 triangolini e ho fatto: 39 * (39 + 1) / 2 = 780 
Infine ho trovato l'area totale dei triangolini bianchi e arancioni (ognuno di essi ha area 1cmq) e poi ho sommato:
780 * 1cmq = 780 cmq
820 * 1 cmq = 820 cmq
780 cmq + 820 cmq = 1600 cmq.

Paola:

L'area del triangolone è di 1600 cm^2 perché:
negli esempi del prof. Davide con due triangolini arancioni alla base l’area del triangolone è di 4, con tre triangolini è di 9, con quattro è di 16, quindi con 40 l’area è di 40*40= 1600.
I triangoli bianchi sono 780 perché la formula dei n° triangolari è: n*(n + 1) / 2. Quindi faccio 39*40 / 2 = 780.

Andrea:

Calcolo il numero dei triangolini bianchi con la formula: 39*40/2=780, quelli arancioni invece sono 820 perché la base è di 40 e a 780 aggiungiamo 40 che sono in più [è così ma Andrea non spiega il perché]. Siccome ogni triangolino ha un'area di 1 cm^2 facciamo 820(triangolini arancioni)+780(triangolini bianchi)= 1600 cm^2.

Antonio:

l'area del triangolone è 1600 perchè:
la formula n*(n+1):2 mi fa trovare il numero esatto di triangolini arancioni:
40*(40+1):2=820.
Per completare il triangolone mi servono i triangolini bianchi: osservando le figure del quesito ho notato che l’esempio dei quattro triangolini alla base iniziava con 4 triangolini arancioni poi 3 bianchi, 3 arancioni, 2 bianchi, 2 arancioni, 1 bianco e finiva con 1 arancione. Gli arancioni sono 4 triangolini in più.
Quindi ho applicato la formula:
n*(n+1):2-n cioè:
40*(40+1):2-40=780
780+820=1600.

Marta C.:

I triangolini arancioni sono 820 perché n*(n+1)/2=40*(40+1)/2=820 che sarebbe il 40esimo numero triangolare.
I triangolini bianchi sono 780 perché togliendo 1 triangolino per ogni fila sarebbero 40, quindi 820-40=780 e infine l'area del triangolone è 820+780=1600

Elisa:

L’area del triangolone è 1600 cmq perché ho visto dagli esempi che l’area completa dei triangoloni era il numero di triangoli arancioni della base elevato alla seconda. Poi per sapere quanti triangoli arancioni ci sono ho addizionato i numeri da 1 a 40 (1+2+3+4+5...........+40) [ah!] e mi ha dato 820 che ho sottratto da 1600: 1600-820=780. 780 sono i triangoli bianchi.

Yuri:

L' area è di 1600 cmq: ho fatto 40*40 basandomi sugli esempi del prof. Davide.
Poi invece il numero di triangoli bianchi è 780 con la rispettiva aerea da 1cmq.
Ho trovato il risultato facendo uso di una formula n*(n+1)/2, e cioè 39*40/2=780cmq (numero di triangoli bianchi alla base del triangolone, l'ho trovato osservando che essi erano uno in meno dei 40).

Elena e Luca inviano soluzioni non corrette e non rispondono all’invito al ripensamento! (A Elena sarebbe bastato davvero poco, ha ragionato bene inizialmente ma si è persa nella seconda parte…)

Solutori per la classe terza:

Alessia, miglior risposta per la terza 

L'area del triangolone avente 40 triangoli alla base è 1600 cm^2. L'area del triangolone è uguale alla somma dei numeri triangolari consecutivi, il 39° e il 40°.
Il 39°: 39*40/2=780
780 è il numero dei triangolini bianchi
il 40°: 40*41/2=820, il numero di triangoli arancione
780cm^2+820cm^2=1600cm^2

Antonella:

L'area del triangolo grande è di 1600cm^2 perche ho calcolato il quadrato della base da 40cm (basandomi sugli esempi del prof. Davide). Per trovare i triangoli arancioni applico questa formula:(nxn+1)/2= (40x41)/2=820. Per calcolare i triangolini bianchi sottraggo 820 da 1600=1600-820=780.

Miriam:

osservando bene i diversi triangoli dell'esempio ho notato una regolarità: …. qualsiasi fosse il valore di n (base), l'area era sempre il suo quadrato. Perciò, sostituendo n con 40cm, posso dire che l'area è 1600 cm^2, pari a 40^2.
Per conoscere il numero di triangolini bianchi presenti ho usato la formula: 39*(1 + 39)/2 = 780 = numero di triangolini bianchi.
in effetti, 780 non è un numero qualsiasi: è un numero triangolare!
In matematica, i numeri triangolari sono quei numeri poligonali che, rappresentati con altrettanti punti, si possono disporre a formare dei triangoli.

Elisa:

1) l'area del triangolo che ha per base 40 triangolini è di 1600 triangolini, ho semplicemente fatto 40x40, come ho notato osservando gli esempi del prof.

2) i triangoli bianchi sono 780. Come avevamo detto in classe la formula per la somma di n numeri naturali è n*(n+1) /2 quindi ho seguito questa formula per trovare il numero di triangoli arancioni, quindi ho fatto 40*(40+1)/2=820 poi ho fatto 1600-820 e trovo 780.

Gian Franco:

basandomi sulla regolarità degli esempi dati ho intuito che il triangolone con quaranta triangoli alla base ha l'area di 1600 cmq. Per quanto riguarda la seconda domanda ho pensato di trovare il numero dei triangoli arancioni, perché nel triangolone, la somma dei triangoli arancioni rappresenta il 40esimo numero triangolare, ovvero la somma dei numeri naturali (triangoli arancioni) in successione. Ho applicato la formula n(n+1)/2, cioè: (40*41)/2 ottenendo 820cmq. Da questo deduco che i triangoli bianchi sono 780 sottraendo 820 dai totali cioè 1600-820=780.

Quesito 2, i numeri autobiografici (a proposito, per il Sarà mica i miei alunni quasi mi ignorano, avevo chiesto “i numeri raccontano sé stessi, quindi sono auto……. ?” Macché, hanno risposto solamente Davide e Antonella ) nei quali, come accenna il prof Davide, non importa tanto il valore delle cifre, quanto i numeri di cifre. 

Solutori per la prima: Davide, Roberta, Paola, Andrea, Yuri, Elisa, Antonio, Nicol, Margherita, Luca.

Quasi tutti sinteticamente dicono:
Il settimo e ultimo numero che si racconta è 1210.
Sono arrivato alla soluzione dopo qualche tentativo.
1210 perché:
la prima cifra indica quanti 0 ci sono nel numero: 1
la seconda indica quanti 1 ci sono nel numero: 2
la terza quanti 2 ci sono nel numero : 1
la quarta quanti 3 ci sono nel numero: 0

Paola spiega un tantino meglio il ragionamento seguito:

il settimo n° è 1210 perché, oltre a essere il più piccolo, ho notato che tutte le prime cifre sono 6,5,4,3,2,2 e mancava solo l'1. Se ho messo 1 come prima cifra ci doveva essere per forza uno 0 che ho messo come ultima cifra, se lo mettevo per 2° non andava bene perché un 1 c'è già, non potevo neanche mettere 1 come 2° cifra perché se no c'erano due 1 e quindi ho messo il 2. Lo 0 non lo potevo neanche mettere per 3° cifra perché ho messo il 2 come 2° cifra e non potevo mettere il 2 come 3° cifra perché ho considerato che c'erano due 1, quindi come 3° cifra ho messo l'1.

E Antonio:

deve essere più piccolo di 2020 quindi devo mettere uno 0 alla fine per perchè se no supererebbe il 2020, quindi considero che ci sia uno 0 e così metto 1 come prima cifra (per indicare quanti 0 ci sono), per indicare quanti 1 ci sono devo mettere per forza 2, perche se mettessi 1 ci sarebbero due uno quindi sarebbe una falsità. Per terza cifra devo mettere 1 per indicare quanti 2 ci sono. Ricapitolando:
1=c'è uno 0 nel numero
2=ci sono 2 uno nel numero
1=c'è un 2 nel numero
0=non ci sono 3 nel numero.

Per la terza: Alessia, GianFranco, Antonella, Miriam, Elisa

Solo qualcuno, al di là della giustificazione delle cifre 1-2-1-0, spiega un certo ragionamento. Alessia:

Il numero è 1210. Per trovarlo ho più o meno ipotizzato il numero che volevo "creare" cioè, volevo che nel numero ci fosse uno 0, quindi la prima cifra era 1, poi se avessi ipotizzato che ci fosse solo un 1 avrei dovuto scrivere 1 come seconda cifra ma sarebbe stata una contraddizione perché realtà sarebbero stati già due, quindi come seconda cifra ho scritto 2. La terza cifra era facile perché doveva “raccontare” che nel numero era presente un solo due e poi confermava il secondo criterio (erano presenti 2 uno) e infine l'ultima cifra era 0 perché non c'era nessun 3 nel numero e confermava il primo criterio (solo uno 0).

Gian Franco:

Il numero è 1210. Inizialmente ho pensato che il numero iniziasse con l'1. Quindi ci doveva essere uno 0. La seconda cifra non poteva essere un 1 perché in quel caso doveva essercene solo una all'interno del numero completo. Quindi ho provato a mettere come seconda cifra il 2. La terza cifra a questo punto poteva essere solamente l'1 perché avrebbe dovuto indicare quanti 2 ci sono all'interno del numero e anche perché quest'ultimo doveva contenere due 1. La quarta e ultima cifra doveva essere lo 0 in quanto non erano presenti 3 e perché il primo numero indicava che ci sarebbe stato un solo 0. Poi ho ricontrollato tutto il numero e i principi erano rispettati.

Elisa:

Il numero è 1210 perché
1= c'è un solo 0
2= ci sono due 1
1= c'è un solo 2
0= non ci sono 3
Questo numero l'ho pensato più o meno seguendo questa sequenza: per il primo numero ho scelto l'1 perché così avrei messo uno 0 alla fine che indicava che non c'erano 3, poi per indicare che c'era un solo 1 avrei dovuto mettere un altro 1 ma così ne avevo due... quindi ho messo prima il 2 che indicava "i due 1", poi ho messo l'1 che indicava il singolo 2 e infine lo 0.

Bene, finito finito!

Al solito, Bravo a chi ha retto fino alla fine, e anche a chi ha tentato.

UnGRAZIE più grande del solito al prof. Davide, stavolta per averci fatto conoscere nuove curiosità matematiche, e per averci fatto pensare con tutte le sue belle e interessanti proposte, che ci hanno arricchito aiutandoci a crescere. 

Arrivederci al prossimo anno con i giochi matematici!

Per la gioia di grandi e piccini…

Eh eh, io so che qualche mamma ha chiesto dei giochi e che qualche figlio ha risposto: Ma’ aspetta, dai!

Su, su, abbiamo aspettato. Dunque, i giochi tornano e il prof. Davide ha pubblicato il

Sarà mica matematica 41

Garantisco, giochi facili, i primi due sicuramente, divertenti tutti. Il primo confezionato apposta per i primini (benvenuti, primini!). Se poi ricordano un po’ le frazioni, possono provare con il secondo. Che i ragazzi di seconda devono risolvere! 

Poi c’è un terzo quesito … ah, non vi svelo niente. Vi dico solo che c’è perfino un video!

Clic sull’immagine per andare a scoprire tutto.

Leggete attentamente tutte le indicazioni del prof. Davide e, mi raccomando anch’io, motivate le vostre risposte!

Buon divertimento e buone soluzioni a tutti!

Grazie, Prof Davide.

Questo il primo post-soluzioni dell’anno

dei giochi matematici Lombardia-Sardegna! Sì, sì, solo due scuole e solo due corsi ma sempre di Lombardia-Sardegna si tratta.

Il Sarà mica matematica 41 del prof. Davideè piaciuto e non è stata male la partecipazione. Ha impegnato i giovini quanto basta e soprattutto questo è positivo.

Ed ecco le soluzioni e i solutori.

Quesito 1, la sequenza numerica

41   5   46   10   56   … 

la logica (o le logiche) che porta(no) ai successivi numeri.

Hanno risolto per la classe prima: Margherita (la prima a spedire la sua soluzione), Stefano P., Gabriella, Fabiano (alias Fabio), Sofia, Giorgia, Antonio, Andrea, Ludovica, Stefano B.

La soluzione più gettonataè stata quella del di 5 in 5 i numeri in giallo (nel post originale del prof.) e i numeri in arancio si ottengono sommando i due numeri che li precedono.

Fabio e Gabriella trovano due soluzioni, la miglior risposta è quella di Stefano P. che trova tre logiche:

Ho pensato che si potrebbe risolvere in 3 modi:

• Se i numeri in rosso aumentano di 5 in 5, quelli blu si ottengono sommando i due numeri che li precedono:

41  5   46   10   56   15   71   20   91   25….
  Secondo questo ragionamento il numero che sta alla decima posizione è25 [altri prolungano la successione...]

• Se i numeri in rosso raddoppiano di volta in volta e quelli blu si ottengono sommando i due numeri precedenti avremo: 

41   5   46   10   56   20   76   40   116   80….   
In questo caso il decimo numero è80

• I numeri rossi si ottengono sommando le cifre del numero blu che li precede, mentre i numeri blu proseguono sommando di volta in volta quelli rossi che si ottengono:

41   5   46   10   56   11   67  13   80   8…. 
Alla decima posizione avrò il numero8

Per la classe seconda risolvono: Marta C., Maria (le prime due soluzioni-Stefano), Yuri, Davide, Margherita, Elena, Elisa, Paola, Andrea (tre soluzioni), Roberta, Aurora, Nicol, Valentina (tre soluzioni), Martina (due soluzioni).

Riporto le tre soluzioni di Valentina (miglior risposta. A pari merito con Andrea ma con un qualcosa in più. Anche nella spiegazione, in cui Andrea tende sempre a fare economia):

prima soluzione:
si può notare che la differenza tra 41 e 46 è equivalente al numero che sta in mezzo, ossia 10; ho notato che 5 e 10 sono multipli di 5, e quindi ho trasformato la sequenza inserendo i segni:
41+5= 46
46+10= 56       
56+15= 71
71+20= 91
91+25= 116  (11° posizione)
         
seconda soluzione:
riprendendo le osservazioni precedenti, notiamo che 10 è il doppio di 5, quindi per questa soluzione ho preferito prima eseguire con le lettere:
a + x= b                 41+5= 46
b + 2x= c               46+10= 56
c + (2x)•2 = d         56+20= 76
d + (2x)•4 = e         76+40= 116
e + (2x)•8 = f         116+80= 196 (11° pos.)  

[…ha preferito. Bene, siamo solo in seconda, ci si avvia alla generalizzazione ...]         
                                                   
terza soluzione:
ho notato che la differenza tra 41 e 56 è la somma tra 5 e 10. Quindi ho ragionato: sommando il secondo addendo “giallo” con il primo e, al numero ottenuto aggiungendo il 2° addendo “arancio” ...:
41+5= 46
46+10= 56
56+15= 71     
71+25= 96
96+40= 136 (11° posizione)

Andrea riporta le tre soluzioni-Valentina

Martina riporta la I e la III delle soluzioni-Stefano

Quesito 2, … con le frazioni

Quanto è
1/2 di 2 /3 di 3/4 di 4/5 di 5/6 di 6/7 di 7/8 di 8/9 di 9/10 di 410?

Eh eh, prof. Davide, Stefano P. della prima ha notato che il 41 tornava più volte nella puntata N° 41

Ma andiamo per ordine.

Dalla classe prima ricevevo le e-mail: “Invio le risposte al I e al III. Le frazioni non le ricordo!”

Ma arriva poi la risposta di Fabio mediante foto dal quaderno:

E bravo Fabio! Ma, ovviamente, la prof. alla classe: carissimi, se Fabio ha ricordato, voi altri …. ?

Ha funzionato, è tornata la memoria!

Quindi per la prima risolvono: Fabio, Margherita, Sofia, Antonio, Stefano P., Gabriella, Ludovica e Stefano B.

Margherita, Ludovica e Stefano B. come Fabio,

Copio-incollo la mail di Sofia:

1/3 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/10
semplifico le frazioni e ottengo 1/10; 1/10 di 410 fa 41
Le devo dire la verità, in questo quesito mi ha aiutato un po' mamma ma l'ho capito subito.

Antonio così:

Ho fatto 1/2 per 2/3, il risultato per 3/4, poi l'ho semplificato e moltiplicato ancora per 4/5 e ho continuato così fino ad ottenere 1/10 di 410 e sono arrivato ad ottenere 41 come risultato finale.

In seguito aggiunge:

Il modo per risolverlo l'avevo capito, solo che mamma mi ha detto di semplificarle perché cosi mi veniva più facile fare le moltiplicazioni e ho visto che c'era la sequenza da 1/2 ad 1/10. 

Stefano P. scrive:

Ho iniziato facendo 410 : 10 =41x 9 = 369 [lascio passare, non è corretto scrivere quegli “uguale” a catena!]e ho continuato a calcolarmi il risultato delle frazioni finché ho capito che la differenza tra ogni risultato che ottenevo era di41. Quindi ho ottenuto41nove volte, perciò se faccio41x 9 ottengo 369 che devo sottrarre al 410. Ho ottenuto di nuovo il numero 41!!!

Il numero 41 è proprio in rosso nella sua e mail. E in classe mi dice: io mi sono accorto che il 41 nei giochi non appare solo nel primo quesito…

Gabriella scrive:

prima ho eliminato inumeri doppi lasciando 1 e 10 gli unici non doppi 

1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/10

quindi prendendo 1/10 di 410 basta fare 410:10 = 41 

Ho chiesto qualche chiarimento ma si limita a sottolineare con il rosso … mah!

Per la classe seconda, i solutori: Paola, Andrea, Roberta, Sara, Aurora, Marta C., Margherita, Elisa, Maria, Elena, Antonio, Yuri, Valentina, Martina.

Quasi tutti impostano la soluzione mediante espressione. Che realizzano poi su Geogebra utilizzando La Tex (eh, sono in seconda, hanno imparato). Così:

O così:

Paola scrive anche una risposta diversa, seppure un po’ contorta, io modifico appena quando proprio non è comprensibile!

La risposta è 41. Faccio dapprima: 410/10 = 41, 41×9 = 369.
Quindi al 410 gli è stato tolto 41 (ho moltiplicato per 9 e non per 10, quindi è come che [SE!] io avessi fatto 410-41= 369).
Poi anziché fare 369:9×8= 328, faccio 369 - 41= 328. Quindi non calcolo nove volte la frazione dei numeri ottenuti ma faccio:
410-(41×9)=410-369=41.

Andrea:

bisogna "solo" dividere per 10 il 410, perché guardando bene le frazioni si nota che le cifre dal 2 al 9 sono prima usate come denominatore di una frazione e poi come numeratore , quindi si semplificano a vicenda, e la frazione finale sarà 1/10. 1/10 di 410 = 41.

Roberta:

Innanzitutto ho guardato attentamente le frazioni, mi è venuto subito in mente che la prof. ssa ci aveva detto che applicando la frazione operatore è come moltiplicare per la frazione, quindi il "di" si trasforma in "per". Allora mi sono scritta l’espressione: 1/2*2/3*3/4*4/5*5/6*6/7*7/8*8/9*9/10 * 410; Ho notato che ogni frazione era semplificabile a croce, es:1/2*2/3 = 1/3. Seguendo questo ragionamento, nell'ultima frazione avrò: numeratore 1 e denominatore quello dell'ultima frazione, 10. Alla fine mi sono ritrovata con 1/10*410= 41.

Quesito 3, i ponti di Konigsberg, semplificati e non …

Solutori per la prima: Stefano P., Gabriella, Fabio, Sofia, Giorgia, Andrea, Ludovica, Stefano B.

Per la seconda: Paola, Andrea, Roberta, Sara, Aurora, Marta C., Margherita, Elisa, Maria, Elena, Antonio, Yuri, Valentina, Martina e Nicol.

Risolvono tutti il problema dei 5 ponti, con diverse soluzioni. Mi è arrivato di tutto, disegnini su carta, foto e file con foto su cui sono tracciati i percorsi. Privilegio questi ultimi nel pubblicare, per ovvi motivi.

etc, etc…

Per ciò che riguarda i 7 ponti qualcuno dice: non si può passare in tutti i ponti senza attraversarne uno 2 volte.

Poi qualcun altro, in prima: se i ponti fossero 6 oppure 8 il percorso si potrebbe fare.

Infatti, bravi primini! 

Fabio e Sofia inviano le due soluzioni alternative

 Fabio invia il disegno:

Sofia,  che dice:

per quanto riguarda i  7 ponti di Konigsberg li ho osservati bene e basandomi su qualche frase del prof. Davide ho fatto qualche ricerca e ho trovato che molte persone provavano a fare il percorso passando in tutti i ponti ma senza passare più volte su un ponte, e nessuno ci riusciva, quindi ho pensato che non si può fare.

Ma con 6 ponti:

e con 8 ponti:

sì!

Infine, anche Roberta, della seconda, fa una ricerca sui 7 ponti di Konigsberg. Trova che del problema si è occupato il grande matematico Eulero che formulò delle leggi un pochino difficili per la soluzione del problema. Ma dichiarò che con 7 ponti era impossibile!

Beh, Robi, il materiale che hai trovato non era semplice.

Ragazzi, se siete curiosi e volete sapere un po’ di più sul problema dei ponti impossibili, provate a vedere due post sul blog:

Gioco topologico e Scopri la formula di Eulero!

Bene, mi pare di aver concluso. Come sempre, se ho scordato qualcosa o qualcuno, segnalate!

E come sempre, il mio Bravi! a tutti i solutori. A chi si è impegnato, a chi ci ha provato, a chi non molla mai!

E Grazie! al prof. Davide.

Oh, scordavo: fra qualche giorno qui per i nuovi giochi!

È il nostro turno.

I giochi Due a settimana… Già, l’ho spiegato ai miei nuovi e lo ridico per gli altri nuovi: perché in origine erano due quesiti settimanali. Sono poi diventati due-tre quindicinali. Ma, tengono sempre la mente sana! 

Eccoli

Quesito 1 numerico

Quattro lumache hanno strisciato su un pavimento formato da piastrelle rettangolari tutte uguali fra loro.
La figura mostra la traccia lasciata da ciascuna di esse.

Sai che:

- la traccia lasciata da Lumè lunga 25 decimetri,
- quella lasciata da Bitè lunga 37 decimetri,
- quella lasciata da Bavè lunga 38 decimetri.

Quanti decimetri è lunga la traccia lasciata dalla lumaca Mol?

Quesito 2area

Il quadrilatero ABCDè un quadrato. Dentro questo quadrato sono disegnati altri tre quadrati i cui lati misurano, in centimetri, come indicato nella figura.

Qual è l'area della “L” colorata?

Quesito 3e ancora aree. Da manipolare!

Disegnate un quadrato su un cartoncino e scomponetelo in 6 parti come illustrato nella figura:

Ritagliate le parti e ricomponetele in modo da formare una "T", una croce greca (ha quattro bracci di uguale misura, non come la forma del crocifisso -croce latina-) e una freccia. Così:

Per ogni figura dovete utilizzare tutti i sei pezzi del quadrato originario. Aiutino: per formare la freccia occorre ribaltare il triangolo numero 3, per tutto il resto dovete solo ruotare i vari pezzi.

Suggerimento per la costruzione: tracciate le linee oblique congiungendo ciascun vertice del quadrato con il punto medio del lato opposto. Ovviamente per i triangoli 3 e 5, nel ritaglio, trascurerete opportunamente qualche parte di queste linee oblique.

Ancora: è sufficiente la costruzione di un solo quadrato. Riorganizzate le parti per formare una figura, potete fare una foto oppure un disegno e poi passare all’altra.

Solita raccomandazione: ciascuna risposta va spiegata! Come hai ragionato, come hai proceduto?

Da: giochi matematici nazionali e internazionali, libri, web, ….

Buone soluzioni a tutti!

La scadenza per la consegna: 11 dicembre 2016. Fino alla mezzanotte!

Eccole,

le soluzioni del

Due a settimana …_17

Ancora una volta quesiti estremamente facili, sarà il caso di impegnare un po’ di più questi cari ragazzi? Solo appena appena, nessuno si spaventi! 

Via le soluzioni.

Quesito 1le lumache e le tracce

Per la classe prima, i solutori: Margherita, Stefano P., Antonio, Ludovica, Stefano B., Sofia, Giorgia, Fabio.

Ragionamento e soluzione analoghi per tutti, trovano nell’ordine, la traccia-diagonale, l’altezza e la base dei rettangoli della griglia. Questi ultimi vengono chiamati anche lati minore e maggiore dei rettangoli oppure altezza e larghezza, insomma i concetti sono validi. Sintetizzando:

Ho iniziato a calcolarmi quanto era lunga la diagonale dei rettangolini partendo dal 1° percorso e ho fatto 25 : 5 = 5  dm.
Dopo mi sono calcolato, dal secondo percorso, l'altezza, facendo prima 37 - 25 = 12 dm (ho sottratto le 5 diagonali) e poi 12 : 4 = 3 dm.
Infine ho calcolato la larghezza dei rettangolini togliendo dal 3° percorso le altezze: 6 X 3 = 18 dm (6 altezze)
38 - 18 = 20 dm; 20 : 5 = 4 dm (5 larghezze)
Per calcolare il percorso di Mol ho fatto:
5 X 3 = 15 dm (3 diagonali)
3 X 4 = 12 dm (4 altezze)
4 X 2 = 8 dm (2 larghezze)
Mol percorre 15 + 12 + 8 = 35 dm

Sofia riporta su Geogebra lo schema della soluzione:

Per la seconda, solutori: Elena, i gemelli Paola e Andrea, che lavorano in rigorosa indipendenza eh, Roberta, Yuri, Davide, Aurora, Luca, Marta C., Antonio, Sara, Valentina, Elisa.

Le soluzioni ricalcano le precedenti, minime le varianti, diagonali, basi altezze, linee oblique, lati verticali e orizzontali, linee spezzate …

Roberta:

Ho notato che il percorso fatto da Mol è un misto tra quello di Lum, quello di Bit e quello di Bav.
Quindi ho preso come unità, da ogni percorso, i segmenti evidenziati

e ho calcolato la loro lunghezza:

Da Lum → a = 25/5 = 5 dm
Da Bit → b= (37- a*5)/4 = 3 dm
Da Bav → c= (38- b*6)/5 = 4 dm

Mol = a*3 + b*4 + c*2 = 35 dm

Davide,senza parole:

Quesito 2  area della L

Solutori prima

Margherita:

Ludovica:

prima area, rettangolo orizzontale: 6*2=12
seconda area, rettangolo verticale: 8*2= 16
16+12=28 [Ehi, cominciamo ad usare le unità di misura!]

Antonio:

L'area della L colorata, secondo me, è di 28 cmq.
Ho calcolato l’area del quadrato piccolo: 4 cmq (lxl=2x2), poi ho calcolato l'area del quadrato medio (6x6=36cmq).
Per calcolare l'area del quadrato grande mi serviva la misura del lato che ho ottenuto sommando il lato del quadrato piccolo più quello medio (6+2) più il lato di un altro quadrato piccolo (2) ottenendo un lato di 10 cm.
Quindi l'area del quadrato grande: 10x10= 100cmq.
Per trovare l'area della L colorata ho tolto dal quadrato grande l'area di quello medio e di due piccoli (100-36-4-4=56cmq)
che poi ho diviso per due visto che rimangono due L:
          
56:2=28 cmq l'area della L colorata

Stefano B: stessasoluzione-Antonio

Stefano P.:

Per calcolare l'area della L mi sono calcolato prima l'area di un quadrato da 8 cm di lato, che ho ottenuto facendo la somma tra il lato da 6 cm e quello da 2 cm. Quindi: 8x8=64[cmq!].Da questa ho tolto l'area del quadrato da 6 cm di lato (6x6 = 36): 64 - 36 = 28[cmq!]

Quindi l'area della L misura 28[cmq!]

Sofia:

per trovare l'area della L ho diviso la lettera in 2 rettangoli e visto che l'area del rettangolo si calcola base x altezza, ho fatto: per
il rettangolo alla base 6x2=12, per quello in verticale 8x2=16 quindi 12+16=28, l'area della L è 28. [mi sono stancata di aggiungere le unità di misura. Perdonati solo per stavolta!]

Fabio:

Per la seconda, i solutori:

Paola:

Per trovare l'area della "L" bisogna prima trovare l'area degli altri quadrati quindi faccio 6*6 = 36 cm^2 [quadrato interno] e 6(+2)*6(+2) = 8*8 = 64 cm^2. Quindi: 64 - 36 = 28 cm^2

Andrea:

L’area della "L" misura 28 cm^2 e ho 3 soluzioni per trovarla:

1) la si può trovare calcolando l'area di uno dei quadratini piccoli che è 4 cm^2, e trovare tanti quadratini quanti sono dentro la "L" e io ne ho trovato 7;

2) la misura si può trovare anche con un’espressione: [10*10-(6*6+2*2*2)]:2= 28 cm^2;

3) la misura si trova anche tracciando un quadrato immaginario (!) da 8 cm di lato, trovando l'area e sommando l'area dei due quadratini da 4 cm^2 di area, trovando 72 cm^2, che viene sottratto a 100 cm^2, che è l'area del quadrato grande e otteniamo 28 cm^2 che è la misura dell’area della "L".

Roberta:soluzione L suddivisa in due rettangoli.

Elena: soluzione 2-Andrea (discorsiva, non con espressione)

Luca [non esistono le unità di misura!]:

prima soluzione:
Per risolvere questo quesito ho considerato l'area totale del quadrato grande di lato pari alla somma di 2+6+2=10
(6 e 2 sono i lati dei quadrati costruiti all'interno):

A= 10*10=100
quindi calcolo le aree dei quadrati costruiti all'interno:
A1= 2*2=4     area quadrato di lato 2
2*A1= 8       area totale dei due quadrati di lato 2
A2= 6*6=36  area quadrato di lato 6
quindi:
A-(2*A1 + A2)= 100 - (8 + 36) = 56    che rappresenta l'area delle due L presenti all'interno della figura,
l'area cercata sarà la metà di 56
A "L" = 56 :2 = 28

seconda soluzione:
Ho calcolato l'area dei due rettangoli in cui posso suddividere la figura a forma di L:

un rettangolo ha altezza pari a 6+2 = 8  e  base pari a 2, la sua area è  A1= 8*2=16
un rettangolo ha altezza pari a 2 e base pari a 6, la sua area è  A2= 6*2=12
L'area totale della L sarà: A1+A2 = 28

terza soluzione:
considero l'area L divisa in due rettangoli e un quadrato,

A1 = A3 = (6*2)=12
2 *A1 = 12*2 = 24  area complessiva dei due rettangoli di lati 6 e 2
A2 = 2*2 = 4          area del quadrato di lato 2
A “L” =  2*A1 + A2 = 24 + 4 = 28

Yuri: soluzione1-Luca

Marta C.: soluzione1-Andrea [nessuno dei due spiega però, dimostra, che Il quadratino con area 4 è contenuto nella L 7 volte]

Antonio: soluzione due rettangoli…

Aurora: anche, soluzione due rettangoli

Davide: soluzione due rettangoli uguali e un quadrato (“d’intersezione” lo chiama, ok)

Valentina,Elisa e Maria mi danno la soluzione su foglietto, soluzione due rettangoli.

Sara:

a ogni angolo del quadrato corrisponde un altro quadrato che ha il lato di 2 cm quindi con un'area di 4 cm quadrati. Il quadrato al centro ha il lato di 6 cm e quindi quello di 3 quadrati piccoli.
La "L", contando i 3 quadratini contenuti in ciascun "braccio" e il quadratino nell'angolo, è composta da 7 quadratini ciascuno con un'area di 4 cm quadrati, quindi l'area della "L" si calcola facendo 4x7= 28 cm quadrati.

Quesito 3  ancora quadrato ma da dissezionare e ricomporre!

Hanno costruito, ritagliato, ricomposto … Bravi! Seguono tutte le foto…

Per la prima, i solutori e le soluzioni:

Stefano P.:

Margherita (con la croce non ci siamo):

Antonio (Anto, fai foto più decenti! ):

Stefano (per non parlare delle tue, Ste’):

(la freccia no, non è corretta)

Sofia:

Fabio:

Per la seconda:

Roberta:

Robi fa una considerazione:

se una figura viene scomposta in varie parti e ricomposta variando la  posizione delle parti, l'area è sempre la stessa.

[I due quesiti sulle aree ci servono - già li usiamo …- per parlare di equivalenza di figure piane]

Luca (oddio le foto…):

Paola (ah, qui proprio belle … ):

Andrea (uuhh!!):

Antonio (io non commento più!)

Aurora (che inoltre… cura gli sfondi, soprattutto della croce ):

Davide (ma si può così…? e io accetto….)

Yuri (no, non c’è da pensar male… sono stata informata, Yuri e Davide hanno usato, casualmente, carta dello stesso colore. Chissà chi ha pensato male! ):

(la croce non mi è pervenuta ma l’ho vista, corretta, su cellulare. Succede pure questo!)

Sara, descrive come ha costruito, direi un po’ impegnativo da seguire, ma non invia foto!

Bene, avrò riportato tutto/i? Avvertitemi in caso di sviste.

Solite lodi a chi ha lavorato, qualcuno non ha potuto per motivi tecnici (e io non avevo capito bene la situazione..), e a chi ha fatto del suo meglio!

Prossimo appuntamento, dal prof Davide!

È pronto il natalizio

Sarà mica matematica 42

Natalizio e ricco di belle cosette. Vi dico solo che vi troverete la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto…!  Vi spiega tutto il prof!

I quesiti molto facili e divertenti. Non so effettivamente se voi facciate ancora in famiglia i giochi natalizi del tipo tombola, ecc… I giochi proposti dal prof Davide potrebbero prestarsi allo scopo, sostituendo o accompagnandone altri.

Vi anticipo solo le belle immagini. Natalizie, come no?

Per tutto il resto: CLIC!

Buone soluzioni, buon divertimento, Buon Natale, Buone Feste a tutti!

Grazie, Prof. Davide!

Beh, voi i pupazzi li avete fatti? Io sì!Eh eh… non è vero, la foto non è mia. È comunque una realizzazione di ragazzini del nostro paese…

Bene, sicuramente giocate sulla neve, io preparo il post-soluzioni del

Sarà mica matematica natalizio

Sarà stato il clima vacanziero, sarà stato … altro, in più di un’occasione ho dovuto rispondere alle e mail: “sei pregato di leggere attentamente le indicazioni del prof!”. Tant’è, per il

Quesito 1

qualcuno, e della prima e della seconda, si è sbizzarrito con risposte complicatissime, per altro errate. Diagonali di quadrati con sotteso, inconsapevolmente da parte di chi “ha cercato” o si è fatto aiutare, teorema di Pitagora, calcoli di circonferenze, ecc. Oh, il lato positivo, aver “cercato”, consideriamolo pure, sì, ci si documenta anche, per trovare soluzioni! Tuttavia, stavolta bastava un po’ più di attenzione nella lettura e soprattutto nell’osservazione della simpatica immagine animata del prof Davide

Ed ecco le soluzioni e i solutori.

Per la classe prima:

Stefano P.:

leggendo le istruzioni del prof. Davide e guardando il mappamondo, ho capito che se Babbo Natale percorre 42 Km dal Polo Nord verso Sud e poi gira verso Est, percorrendo altri 42 Km, la distanza dal punto di partenza è sempre 42 Km. Questo perché se si sposta in orizzontale la sua distanza dal Polo Nord rimane sempre la stessa. –Bisognerebbe rendere più esplicito il perché…

Margherita:la risposta è corretta ma la spiegazione proprio no!

Ho fatto il primo quesito e secondo me potrebbe essere 42 km. Perché il percorso che babbo natale percorre forma metà quadrato, quindi ogni lato è uguale..... E poi Marghe non risponde più alla mia obbiezione!

Andrea:Babbo Natale è lontano dal polo nord 42 km, perché scende verticalmente a sud e poi vira orizzontalmente verso est di conseguenza la distanza resta comunque 42 km - Come per Stefano…

Antonio:

Secondo me Babbo Natale è distante 42 km, perché la distanza è la stessa, visto che ha percorso 42 km verso Sud e altri 42 verso Est, formando un triangolo equilatero.

- Un triangolo equilatero, perché?

Ho pensato al triangolo equilatero perché va in orizzontale e per questo motivo la distanza è uguale da qualsiasi punto lui si trova. – E sia!

Fabio invia lo schema:

Mi dice che ha finto di disegnare il triangolo sul mappamondo.

Stefano B:

Babbo Natale è lontano dal Polo Nord 42 km perché se ha percorso 42 km da Nord verso Sud e altri 42 km da Sud verso Est, allora da Est verso Nord ci saranno ancora 42 km. [come sopra…]

Ludovica:(buona l’ultima risposta! – su foglietto, corredata da schemino con meridiani e paralleli)

Santa Claus scende per un meridiano e svolta per un parallelo. Se giriamo restando fermi su un parallelo, la distanza tra il parallelo e il polo Nord è la medesima, in questo caso 42 km.

Gabriellainvia l’immagine, senza parole. Sorvoliamo (per ora!) sulla scala di riduzione non proprio rispettata …

Infine, mi ritrovo una risposta su foglietto senza nome (sarà poi della prima?):

La distanza di Babbo Natale dal polo Nord è di 42 km. Ho risolto grazie alle parole del prof Davide, cioè tutte le distanze sono uguali. [boh, ha detto così il prof??]

Per la classe seconda:

Marta C:

Babbo Natale si sposta lungo meridiani e paralleli. Non forma proprio un triangolo, perché non siamo sul piano che avrebbe 2 dimensioni, ma sulla terra che ne ha 3. [Su una superficie sferica, che comunque ha due dimensioni…]

(anche qui la scala…)

Davide: dà una sua interpretazione. Beh, trascura diversi parametri …. dovremo chiarire!

il quesito ci dice che babbo natale è sceso verso sud di 42 km e a est di altri 42, però la terra gira in senso orario [antiorario!] ossia verso est e percorrendo i 42 km ti ritrovi sul punto dove eri partito x il viaggio in oriente. Quindi si è allontanato dal polo nord di 42 km.

Paola:

Siccome babbo Natale partendo da nord ha fatto 42 km li farà anche per tornarci perché la terra è tonda e quindi da tutte le parti si arriva a nord. [ommioddiooo!]

Andrea:

Babbo Natale scende di 42 km, siccome il polo nord è al centro la distanza è di 42 km da qualsiasi punto. [un altro… categorico! Questi ragazzi devono imparare ad esprimersi con chiarezza!]

Martina:

partendo dal polo nord, scendendo verso sud seguendo un meridiano, e percorrendo una distanza di 42 km verso est, essendo la terra sferica e quindi dovendo ripercorrere un altro meridiano, per tornare al polo nord ripercorrerà sempre 42 km [Il soggetto, chi??]

Roberta:

Babbo Natale è distante dal Polo Nord 42 km. Se dalla partenza percorre 42 km verso sud, non importa quanti km percorre in orizzontale, la distanza dalla partenza sarà sempre la stessa perché Babbo Natale fa una sola virata verso est e si muove in orizzontale. Gira intorno al Polo Nord ma non si allontana.

Yuri:

è come se Babbo Natale si muovesse lungo un meridiano dal polo nord verso sud, di 42 km. Poi continua spostandosi di 42 km verso est seguendo il parallelo. Rimane sempre al 42esimo km di un diverso meridiano, quindi per tornare al polo nord, percorrerà nuovamente 42 km.

Luca: arricchisce di particolari…

Babbo Natale nell’immagine del Prof. Davide è seduto al Polo Nord mentre la terra ruota. La mia soluzione si basa su questo: al polo Nord la rotazione della terra è nulla, 42 Km è una distanza piccolissima rispetto alle dimensioni della terra; quindi ho pensato che se la slitta percorre 42 km, le distanze sono segmenti (non archi di circonferenza). Quindi se percorre 42 km partendo dal punto A seguendo un meridiano fino al punto B, poi vira a est seguendo un parallelo per 42 km e arriva a C (questo parallelo è l’unica circonferenza che passa per la distanza di 42 km), unendo C ad A (la distanza CA si trova su un altro meridiano) ottengo un triangolo equilatero. Perciò Babbo Natale che ha raggiunto C si trova a una distanza di 42 km dal polo Nord.

Antonio:

Babbo Natale dista 42 km. Immagino di descrivere il percorso usando il compasso: punto l’ago sul polo nord (punto A) e traccio 42 km verso sud fino al punto B poi punto l’ago sul punto B e traccio altri 42 km verso est fino al punto C. Quindi, siccome sto descrivendo una circonferenza, la distanza tra A e C sarà 42 km perché tutti i punti sono equidistanti ….

Maria:

la risposta è 42 km perché dal polo Babbo natale si è allontanato 42 km verso sud; i successivi 42 km si è mosso in orizzontale quindi non si è allontanato.

Sarainfine,mi fornisce risposta su foglietto. Si appella al fatto che la terra è rotonda ….

Quesito 2

Anche per questo secondo ho dovuto richiamare all’attenzione!

Soluzioni per la classe prima

Ludovica.Mi invia più soluzioni, alcune solo descritte, senza immagini. Non posso dire che spieghi benissimo i sui ragionamenti, come d’altra parte hanno fatto quasi tutti.

Poi trova:

nell' ultima fila ho posizionato i numeri  22- 3 - 1- 8. Ho sommato 22+3=25 -  3+1=4 - 8+1=9. Successivamente ho addizionato 25+4=29 -  9+4=13 . Infine ho eseguito 29+13= 42

e anche :

ho posizionato nella quarta fila i numeri 21- 3- 2 - 6. Ho addizionato 21+3=24- 3+2=5 - 2+6=8. Successivamente ho sommato 24+5=29 e 5+8=13. Ho, infine, eseguito 29+13 = 42

Margherita:con il numero 25 nell’ultima fila ha 3 varianti, ne mostro una. Spiegazioni, scrive solo di aver sommato… come Ludovica. [e comunque, ribadisco le avvertenze per i futuri quesiti, fatte in classe, in entrambe!]

Stefano P.:

Scrive:

partendo dall'alto mi sono reso conto che il 2 e l'1 non possono essere usati nella seconda e terza riga, perché non possono essere scomposti con dei numeri ripetuti più volte, per esempio: 1 = 0 + 1 e 2 = 1 + 1 oppure 2 + 0. Quindi li ho messi nell'ultima riga e il numero più grande che ho ottenuto in questa riga è il 27.

Andrea:

senza parole!

Antonio:

neppure Antonio spiega un criterio… “Ho seguito i consigli scritti nel quesito dove mi consigliavano di mettere nella prima fila un numero uguale o superiore a 20…”

Fabio mi invia solo una soluzion(cina) con numeri inferiori a 20 alla base dell’albero…

Gabriella:

con altre due soluzioni con il numero 20 alla base.

Sofia:

Neppure Sofia spiega un criterio.

Il foglietto anonimo di cui sopra… riporta due soluzioni con un 21 e un 25 alla base dell’albero.

Per la classe seconda:

Roberta:

Una seconda soluzione, ancora con il max di 23! Criteri: a quanto pare ritengono un criterio affermare di “aver messo il 23 alla base, ecccc…”

Paola, catturo la sua e mail:

Andrea, le sue 6 soluzioni:

Scrive:

ho trovato 6 soluzioni(con almeno 20 in una pallina di sotto), bisogna andare dall'8 in poi, quindi 8,9,10,11 ecc., e ci sono 14 soluzioni ma io ho messo solo quelle che hanno in una pallina di sotto almeno 20. (non si è sentito di superare il 25? )

Marta C., oh, riporta un bel 29

E poi delle altre:

ma senza parole!!!

Elisa,

scorda il 42 sulla stella… ma vabbeh!

Martina:

Ovviamente, senza parole!

Nicol, ci prova ma ripete dei numeri… e non ci riprova!

Yuri:

Il suo max sforzo! E scrive:

Ho trovato il risultato seguendo le regole del prof. Davide (non come avevo fatto prima :-) [e questo fa capire…]), ho cercato i numeri più alti possibili.

Davide: descrive solo una soluzione con il 20 alla base!

Maria:

“per la spiegazione lo devo ammettere, l'ho fatta per tentativi…”  Evviva la sincerità!

Luca:

Direi che è il solo ad aver espresso un criterio. Seppure…. beh a lui sono serviti i divisori!

Ho considerato i divisori del numero 42 che sono {42; 21;14;7;6;3;2;1}. Quindi ho costruito insiemi di numeri naturali nello schema ad albero di natale che comprendono  7,14,21 nell’ultima fila di palline. Poi ho escluso il 7 e il 14 perché minori di 20. Dalle soluzioni che comprendono il 21 ho ragionato con soluzioni che via via includono numeri maggiori fino ad arrivare al numero 26. La mia soluzione migliore ha il numero 26 nell’ultima fila di palline come riportato nell’allegato.

Antonio:nonostante gli inviti ad un’attenta lettura delle indicazioni… evidentemente non si concentra troppo. Direi così!

Sara mi consegna due soluzioni su foglio con i numeri 25 e 26 alla base. Dice di aver cominciato dal basso usando un numero maggiore di 20 affiancando numeri abbastanza bassi per non ottenere poi un risultato finale maggiore di 42.

Quesito 3

Per la prima

Margherita:

Stefano B:

Numero inferiore di alberelli completi!

Fabio:

Gabriella:

Stefano P:

Oh, povero… : Professoressa, ho provato tante volte a risolvere il terzo quesito ma c'è sempre una tessera che non combacia. Le mando qualche esempio … Sì, mi manda vari esempi e ben mi evidenzia “nel caso la prof non trovi…” - Ma sì, Ste’ , hai fatto benissimo ad evidenziare  

Ludovica mi fornisce il suo collage su carta, i disegni fatti da lei. Ma in compenso scrive l’ordine di accostamento delle tessere secondo le immagini fornite dal prof. Davide: 7-1-9-8-2-4-3-6-5 (sarà tutto corretto? i suoi colori sono piuttosto sbiaditi!)

Sofia:

Bah!

Per la seconda:

Roberta:

Paola:

Andrea, sfocato…!

E poi, Marta C., Martina, Davide e Luca inviano gli accostamenti 3x3 come i precedenti.

Invece,

Elisa:

Elena:

Yuri, la sua migliore è:

Antonio:

Sara, la sua migliore…

Infine Marta D., che mi fornisce collage su foglio, ma non la soluzione ottimale.

Mi pare di aver concluso!

Che dire: ovviamente apprezzo coloro che hanno lavorato o coloro che hanno tentato, e un Bravo lo intascano! Tuttavia, lo devo dire, permettetemi: a me l’impegno, dovrei rivolgermi soprattutto ai ragazzi della seconda, ma anche qualcuno della prima trascura, fa meno di quanto potrebbe …

è parso *non del tutto soddisfacente*. Aggiungo soltanto: è tempo di mettersi a lavorare sul serio! E voi già sapete……

Come sempre Grazie al prof Davide che anche stavolta, allegramente, ci ha invitato a pensare!

Oh, a brevissimo qui i nuovi quesiti!

E intanto

“ ... volteggiando la neve cade.
Danza la falda bianca ...” [da poesia Ada Negri]

Oggi è proprio tanta e ancora nevica. E c’è bufera. Voi non so se riuscite a stare a casa! Per quando ci siete …

ecco i nuovi quesiti.

Il primo, numerico, si presenta in due varianti, eseguirete quello che vi è più congeniale. Ovviamente, nessuno vieta di eseguirli entrambi. Anzi … ma non è il caso che io dica di più! (ai miei giovini - sono certa che gli alunni del prof Davide risolveranno entrambi. Quindi, gara sia! )

I quesiti geometrici sono due. Anche in questo caso, il primo è rivolto a tutti, il secondo è destinato senz’altro ai ragazzi della seconda (o terza del prof Davide). Per la prima, forse è ancora troppo presto.

Dunque:

Quesito 1 - a,relazioni tra serie di numeri

Vedete che ciascun numero della prima riga è associato a uno della seconda riga. Trovate la relazione che li lega e rispondete alla domanda: quali sono i due numeri mancanti in ciascuna riga? Attenzione, oltre alla relazione trovata c’è da osservare bene le due sequenze.

Quesito 1 – b

Qui avete tre terne distinte, sui rettangoli in verticale. Qual è il numero che completa la terza terna? Occorre analizzare le prime due e scoprire la relazione esatta.

Quesito 2 – a,geometrico

Maurizio ha disegnato un triangolo equilatero ABC di lato 5 cm come mostrato nella figura sotto. Il suo insegnante le chiede di disegnare un secondo triangolo, in modo che ciascuno dei suoi lati sia parallelo ad un lato del triangolo iniziale e sia esattamente a 1 cm di distanza da esso. In quanti modi diversi Maurizio può disegnare il nuovo triangolo richiesto? Naturalmente dovete disegnarli, meglio se realizzate le costruzioni con Geogebra. Chi ne è capace!

Quesito 2 – b,ancora triangoli …

Osservate con attenzione la figura

I triangoli ABC e CDE sono equilateri e congruenti. Se l’angolo AĈE misura 80°, quanti gradi misura l’angolo ABE? [non riesco proprio, neppure in linguaggio LaTex –so il codice ma non va…-, a ottenere l’accento circonflesso sulla B].

Aiutino, non aiutino? Ok, aiutino: triangoli, triangoli, … Sì, sì, è un aiuto!

Insomma, stavolta ce n’è per tutti. Ripeto, ognuno eseguirà quanto può, l’importante è dimostrare la buona volontà necessaria. E con questa si superano molti ostacoli!

Ribadisco: attenzione nella lettura delle indicazioni e motivazione (chiara!) delle risposte.

Buone soluzioni a tutti!

Scadenza: alla mezzanotte del 31 gennaio 2017